4 aszimptotikus terjeszkedést

Aszimptotikus képletek gyakran hasznosak a közelítő számítást funkciók képviselt integrálok egy paramétert, különösen a tanulmány a viselkedését differenciálegyenletek.

4.1 A koncepció a aszimptotikus sor

4.1.1-szimbolizmus. aszimptotikus szekvencia

1. A szimbólumok o és O. Legyen a függvény f (x) és g (x) meghatározott egy sor B, és hagyja, x 0 - egy határpont ez meg, azaz, Minden szomszédságában x 0 más pont a beállított B x változó feltételezett valós vagy komplex. Ha x valós, akkor B rendszerint

- a szomszédsági vagy semineighborhood pont x 0. komplex esetében B - egy gerenda vagy szektor csúcsú pontban x 0.

a) f (x) = O (g (x)) az x → x 0. x B, eszközt

b) f (x) = O (g (x)) az x → x 0. x B, azt jelenti, hogy létezik egy C konstans, és egy olyan környéken pont x 0. V, hogy

a) f (x) = O (x -∞) ha x → ∞ azt jelzi, hogy az f (x) = O (x -N), bármely egész szám n ≥ 0.

Megjegyzés. Általában ilyen esetekben a „ha” rövid helyébe vessző.

6.1. Mutassuk meg, hogy

b) sin Z = O (e Im z), z → ∞, ahol 0 ≤ Arg Z ≤ π; a) ln n = O (n a), n → ∞, ha a> 0;

g) e -λ = O (λ -∞), λ → ∞, ahol | arg λ | ≤ π / 2 -. ahol> 0; d) x a = O (x b), x → 0, ha a> b;

e) X a = O (x b), x → ∞, ha a

a) Ha az f (x) = O (g (x)) és g (x) = O (h (x)), akkor f (x) = O (h (x)); b) ha f (x) = O (g (x)) és g (x) = O (h (x)), akkor f (x) = o (h (x)); c) ha f (x) = O (g (x)) és g (x) = o (h (x)), akkor f (x) = o (h (x)).

ez az úgynevezett aszimptotikus szekvenciát (AP)

ha x → x 0 x B. Utalás a B halmaz általában nem alkalmazunk, ha a szövegösszefüggésből világosan, mi forog kockán.

6.6. Mutassuk meg, hogy stepennye”szekvenciát:

a) 1, Z, Z 2, amikor Z → 0, b) 1, Z -1. z -2. ha z → ∞,

Megjegyzés: a legtöbb esetben használják stepennye”AP.

6.7. Akár funkciók formájában ln x, ln ln x, ln ln ln x. AP ha x → + ∞?

6.8. Egy olyan szektorban z sík szekvenciája funkciók exp (-z), exp (-z 2), exp (-z 3). z → ∞, ez aszimptotikus?

4.1.2 Az aszimptotikus sor a függvény

1. Formai sorozat. Legyen φ 0 (X), φ 1 (x). - aszimptotikus szekvencia x → x 0. 0. és hagyja, hogy egy olyan 1. - tetszőleges számszerű sorrendben. Mi alkotják a részösszegek

σ 0 (X) = a 0 φ 0 (X), σ 1 (x) = a 0 φ 0 (X) + 1 φ 1 (x).

σ n (x) = 0 φ 0 (X) + 1 φ 1 (x) +. + A n φ n (x).

A szekvencia részleges összegek úgynevezett formális aszimptotikus sor AP, x → x 0. formális sorok használja ugyanazt a rekordot, hogy a hagyományos konvergens sorozat funkciók:

akkor azt mondjuk, hogy az f (x) az x → x 0 aszimptotikus sor (AP) szerint az AP,

és írd formájában

f (x) c k φ k (x), x → x 0. X B.

Ha (2) teljesül csak n = 0, 1 N, akkor azt mondjuk, aszimptotikus bővítése a funkciója, hogy az N-edik tagja. Abban a különleges esetben, N = 0 mondott aszimptotikus ábrázolása a funkciót. Például, az x → 0 aszimptotikus bővítése kitevőt a 2. kifejezés: e x 1 + x + x 2/2; aszimptotikus képviselet tangense: tg x x (itt φ 0 (X) = x).

Meghatározása AR (2) azt jelenti, hogy az f (x) a szomszédságában egy-szekvencia x 0 közelítő képletek:

f (x) ≈ 0 φ 0 (X), f (x) ≈ 0 φ 0 (X) + 1 φ 1 (x).

ahol minden egyes egymást követő előző képlet meghatározza, abban az értelemben, hogy az ezt követő hibaközelítés képest az előző hiba elenyészően kicsi, amikor x → x 0. Ez azonban nem jelenti azt, a gyakorlatban, hogy minél nagyobb a kifejezések számának kiszámításához használt közelítő függvény, a kevésbé ez hiba. Az a kérdés, hogy hány tagja az aszimptotikus sor kell venni a közelítő függvények, nem egyszerű. Bizonyos esetekben a különbség a funkció és a részleges összege AR lehetnek formájában elválaszthatatlan, ami kiszámíthatatlan.

Az általános esetben, akkor kövesse a következő szabály: válasszon egy számot többé az a hely, ami után egy általános kifejezés kezd el növekedni. Általános szabály, hogy az általános kifejezés Azerbajdzsán növelésére annak számát először csökken, majd, kezdve egy bizonyos „kritikus” szám, akkor nőni kezdenek. Ez a kritikus n szám általában függ az x értéke: X közelebb a határértéket, a nagy n. A gyakorlatban azt korlátozni kell a végső szegmens a hivatalos sorozat, csonkolt sorozat, hogy a kritikus számot. A leírás, a minőségi viselkedését a funkció általában elég az 1. kifejezés a terjeszkedés. Aszimptotikus terjeszkedést és bemutatása röviden nevezik a „aszimptotikus viselkedését”.

Megjegyezzük továbbá, hogy a hivatalos aszimptotikus P sorozat c k φ k (x) nem feltétlenül konvergál a szokásos

Mr. értelemben, vagyis, nem létezhet a lim c k φ k (x). Sőt, ha a hivatalos

A sorozat konvergál, összege egyenlő lehet egy másik funkció.

6.9. Mutassuk meg, hogy:

a) e x P k 1. x k x → 0 at (konvergál ez a funkció);