A ciklusos csoport
A ciklusos csoport - csoport, (G. ⋅). amely létrehozható egyetlen elem a. azaz minden eleme van hatásköre egy (vagy, terminológia használata adalékanyag, képviseletében a na ahol n -. egész szám). Matematikai jelölés: G = ⟨a⟩.
Annak ellenére, hogy nevét, a csoport nem kell szó szerint a „ciklus”. Előfordulhat, hogy minden hatáskörét g n> más lesz. Csoport így létrehozott úgynevezett végtelen ciklusos csoport, és izomorf egész számok az összeadásra (Z. +). +).>
- Minden gyűrűs Abel-csoport.
- Minden véges ciklusos csoport izomorf Z n _> - <0. 1. …. n − 1>> A mellett modulo n (ez is említett Z / n Z / n \ mathbb>), és mindegyik végtelen - izomorf Z>. az egész számok csoportját az összeadásra.
- Különösen, az egyes n természetes szám létezik csak (legfeljebb izomorfizmus) ciklusos csoport n rend.
- Minden alcsoportban egy ciklusos csoport gyűrűs.
- A gyűrűs csoport, n-edrendű vannak pontosan φ (n) generáló elemek, ahol φ - Euler funkciója
- Ha p - elsődleges. hogy bármely csoport a sorrendben p ciklusos és egyedülálló akár izomorfizmus (ez következik Lagrange-tétel).
- A közvetlen terméke két gyűrűs csoportok a rend n és m ciklusok akkor és csak akkor, ha n és m értéke viszonylag fix.
- Például, Z 12 _> izomorf Z × Z 3 4 _ \ szer \ mathbb _>. de nem izomorf Z 6 × Z2 _ \ times \ mathbb _>.
- A Alaptétele véges generált Abel-csoport kimondja, hogy minden véges generált Abel-csoport egyedileg bomlik közvetlen terméke primer ciklusos csoportok. Csoport lehet primer ciklusos csoportot Z p n _ >>. ahol p - elsődleges, vagy Z>.
- Bármilyen multiplikatív csoport véges mező gyűrűs (generálja a legmagasabb rendű mező).
- A endomorphism gyűrű a Z csoportot n _> izomorf a Z gyűrű n _>. Ez izomorfizmus r szám felel endomorphism Z n _>. amely összehasonlítja az összeg az elem r annak példányok. Egy ilyen térkép bijekciót. akkor és csak akkor, ha R viszonylag prím n. úgy, hogy a automorfizmus csoportja Z n _> izomorf Z n × _ ^>.
- Csoport egységgyök fokú N tekintetében szorzás.
- Csoport Galois bármely véges kiterjesztése a véges és véges ciklikus; Ezzel szemben, ha az adott végső mező F és egy véges ciklusos csoportot G. F. van véges kiterjesztése, amely Galois csoport G.
Jóváhagyása. Minden alcsoportban egy ciklusos csoport gyűrűs.
Bizonyítás. Legyen G - ciklusos csoportot, és a H - alcsoportjában G. Ha a G csoport triviális (álló egyetlen elemet), akkor H = G és H ciklikus. Ha a H - triviális alcsoport (amely egyetlen elemet vagy egybeesik a teljes G csoport), majd a H ciklikus. Továbbá során a bizonyítás feltesszük, hogy G és H nem triviális.
Legyen g - generátor csoport G. és n - a legkisebb pozitív egész szám úgy, hogy g n ∈ H \ H>. Örökbefogadás: H = ⟨g n⟩ \ rangle>