A határértékek az irracionális
Korlátok tartalmazó irracionalitás (vagy egészen egyszerűen a gyökerek) rendkívül népszerű megalkotói modellszámítások és teszteket a magasabb matematika. Három csoport bizonytalanság általában figyelembe venni:
Ebben a témában nézzük mindhárom csoportban a határait a irracionális. Kezdjük a korlátokat, amelyek határozatlan formában $ \ frac $.
Közzététele bizonytalanság $ \ frac $.
Reakcióvázlat standard oldatainak példák az ilyen típusú általában két lépésből áll:
- Megszabadulni az irracionalitás, ami bizonytalanságot okozott, megsokszorozva az úgynevezett „konjugált” kifejezést;
- Ha szükséges, felbontjuk a számláló vagy a nevező (vagy itt-ott) faktorizációs;
- Csökkentése tényező, hogy a bizonytalanság, és számítsuk ki a kívánt értéket a limit.
A „konjugátum” kifejezés, ahogy a fentiekben használtuk kerül a példákban részletezett poyasnon. Eddig lakoznak rajta nincs ok részletesen. Általában azt lehet menni egy másik utat, használata nélkül a konjugált kifejezés. Néha irracionalitás lehet megvalósítani jól megválasztott csere. Az ilyen példák ritkák standard referencia irodalmak, így helyettesítjük a használata úgy csak egy példa №6 (cm. Második része az alany).
Szükségünk lesz néhány képlet, hogy írni fogok az alábbiakban:
Ezen kívül azt feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a képletet Másodfokú egyenletek megoldása. Ha a $ x_1 $ és $ x_2 $ - gyökerek egy kvadratikus trinomiális $ ax ^ 2 + bx + c $, majd bontsa azt a faktorizáció a következők lehetnek:
Formulák (1) - (5) elég lesz ahhoz, hogy megoldja a hagyományos problémákat, amelyeket most lépni.
Mivel $ \ lim _ (\ sqrt-2) = \ sqrt-2 = \ sqrt-2 = 0 $ és $ \ lim_ (X-3) = 3-3 = 0 $, az adott határérték, megvan a bizonytalanság a formában $ \ frac $. Felfedje a bizonytalanság megakadályozza, hogy különbség $ \ sqrt-2 $. Ahhoz, hogy megszabaduljon ezektől a ésszerűtlenségekkel használja szorzás az úgynevezett „konjugált kifejezés.” Hogyan működik ez a szorzó most úgy. Szorzás $ \ sqrt-2 $ a $ \ sqrt + $ 2:
Ahhoz, hogy nyissa ki a zárójelben levő képlet №1. helyett a jobb oldalon a általános képletű, $ a = \ sqrt $, $ b = $ 2:
Mint látható, ha megszorozzuk a számlálóban a $ \ sqrt + 2 $, akkor a gyökér (azaz irracionális) a számláló eltűnik. Itt van egy kifejezés a $ \ sqrt + 2 $ és lesz konjugált kifejezése $ \ sqrt-2 $. Mi azonban nem lehet csak venni, és szaporodnak a számláló a $ \ sqrt + 2 $, mert ez meg fog változni a frakció $ \ frac-2> $ alatt álló limit. Szorzás szüksége odovremenno és a számláló és a nevező:
Most ne feledjük, hogy $ (\ sqrt-2) (\ sqrt + 2) = 3-x $ és felfedi fogszabályozó. És miután bővítése és átalakítása egy kis $ 3-x = - (x-3) csökkenti a frakció $ $ x-3 $:
Bizonytalanság $ \ frac $ eltűnt. Most könnyen kap választ ebben a példában:
Megjegyezzük, hogy a konjugált kifejezés megváltoztatni a szerkezetét - attól függően, hogy milyen az irracionalitás, akkor el kell távolítani. A példákban №4 és №5 (cm. Második rész a téma), hogy a fajta expresszió a konjugátum fogják használni.
Mivel $ \ lim _ (\ sqrt- \ sqrt) = \ sqrt- \ sqrt = 3-3 = 0 $ és $ \ lim_ (3x ^ 2-5x-2) = 3 \ cdot2 ^ 2-5 \ cdot 2- 2 = 0 $, akkor foglalkozik a bizonytalanság formájában $ \ frac $. Megszabadulni az irracionalitás a nevezőben a frakcióból. Erre domozhim mind a számláló és a nevező a frakció $ \ Frac \ sqrt> $ a kifejezés a $ \ sqrt + \ sqrt $ konjugált a nevező:
Ismét, mint példa №1, akkor kell használni a képlet a közzétételi №1 zárójelben. Behelyettesítve a jobb oldalon a képlet, $ a = \ sqrt $, $ b = \ sqrt $, megkapjuk azt a kifejezést nevező:
Visszatérve a határ:
Példa №1 után szinte azonnal a szorzás a konjugátum expresszió csökkent frakciókat. Itt előre vágott lesz faktor kifejezések $ 3x ^ 2-5x-2 $ és $ x ^ 2-4 $, majd menjen a szerződést. Annak érdekében, hogy figyelembe kifejezése $ 3x ^ 2-5x-2 $ akkor kell használni a képlet №5. Kezdeni megoldani egy másodfokú egyenlet $ 3x ^ 2-5x-2 = 0 $:
Behelyettesítve $ x_1 = - \ frac $, $ x_2 = 2 $ a képletben №5. van:
$$ 3x ^ 2-5x-2 = 3 \ cdot \ left (x- \ left (- \ frac \ right) \ right) (x-2) = 3 \ cdot \ left (x + \ frac \ right) (X -2) = \ left (3 \ cdot x + 3 \ cdot \ frac \ right) (x-2) = (3x + 1) (X-2). $$
Most volt a sor, hogy figyelembe kifejezése $ x ^ 2-4 $. Az általunk használt képlet №1. helyett az ő $ a = x $, $ b = 2:
Használjuk ezeket az eredményeket. Mivel $ x ^ 2-4 = (X-2) (X + 2) $ és $ 3x ^ 2-5x-2 = (3x + 1) (X-2) $, akkor:
Elosztjuk x-brace $ 2 $ kapjuk:
Mindent! A bizonytalanság eltűnt. Még egy lépés, és mi jön a válasz:
A következő példában, vegyük azt az esetet, amikor irracionalitásának lenne jelen mind a számláló és a nevező az a frakció.
Mivel $ \ lim _ (\ sqrt- \ sqrt) = \ sqrt- \ sqrt = 0 $ és $ \ lim _ (\ sqrt- \ sqrt) = \ sqrt- \ sqrt = 0 $, akkor van egy jellegtelen $ \ frac $. Mivel ebben az esetben a gyökerek vannak jelen, és a nevezőben, és a számlálót, majd annak érdekében, hogy megszabaduljon a bizonytalanság most szaporodnak a két konzol. Először is, a kifejezés a $ \ sqrt + \ sqrt $, konjugátum számlálóban. És másodszor a kifejezés a $ \ sqrt- \ sqrt $, konjugált nevező.
A zárójelben a következő képlet segítségével №1. kapjuk:
Ami a határ, van:
Továbbra faktor kifejezést $ -x ^ 2 + x + $ 20 és $ x ^ 2-8x + $ 15. Kezdjük a kifejezést $ -x ^ 2 + x + 20 $. Kihajtásához azt a tényezők szükséges, hogy megoldja a egyenlet $ -x ^ 2 + x + 20 = 0 $, majd a képlet №5:
Mert kifejezést $ x ^ 2-8x + $ 15, megkapjuk:
Behelyettesítve ezeket razozheniya $ -x ^ 2 + x + 20 = - (x-5) (x + 4) $ és $ x ^ 2 + 8x + 15 = (X-3) (x-5) $ a jelentési határértéket, van:
A következő (második) oldalán, úgy egy pár példa, ahol a kifejezés a konjugált lesz egy másik megjelenés, mint a korábbi feladatokat. A legfontosabb dolog, hogy emlékezzen a célja a használata a konjugátum kifejezést -, hogy megszabaduljon az irracionalitás, ami a bizonytalanság.