A koncepció egy ortogonális rendszer funkciói

A koncepció egy ortogonális rendszer funkciói

Opredelenie1.Sistema (a készlet, a gyűjtemény) a meghatározott feladatok az intervallumon. úgynevezett ortogonális ebben a szegmensben, és ha

Megjegyezzük, hogy az összes funkciót a rendszerben:

Ezek rendszeres, közös legkisebb pozitív időszak 2π.

Tény, hogy # 966; 1 (x) = 1-periodikus bármely nem nulla időszak funkciót # 966; 2 (x) = cosx és 966 # 3 (x) = sinx van a legkisebb pozitív periódus 2π, és a funkciók x COSP ISIN Px legkisebb pozitív időszakban. Ezért a száma T = 2π van egyrészt a közös és a legkisebb pozitív időszak minden funkció a rendszerben.

Tétel 1.Integral a periodikus függvény bármelyike ​​szerinti szegmens, amelynek hossza egyenlő a pozitív periódus nem függ a választott az integráció intervallum.

Valóban, legyen T> 0 - időszak az f (x), és - tetszőleges valós szám. Lássuk be, hogy a

Az additív tulajdonsága határozott integrálok

(Mivel a határozott integrál független a szimbólum a változó integrációs).

Kapott: I3 = - I1. ezért. QED.

Tétel 2.Trigonometricheskaya rendszer funkciói merőleges bármely intervallum hossza 2π.

Mivel az állítás 1. tétel, a bizonyítás a szimmetrikus intervallumot.

Először bizonyítani az ortogonális függvény # 966; 1 (x) = 1 az összes többi:

,mivel bármely egész k páratlan funkciót, és az integráció szegmens szimmetrikus.

Most bebizonyítjuk a ortogonalitása a szinusz és a koszinusz felett:

minden k és m N (még bármely k = m), mint integrandus páratlan.

Következő bebizonyítjuk ortogonalitásának koszinuszok különböző érveket, vagyis amikor k ≠ m.

Most ellenőrizze ortogonalitása melléküregek különböző érveket, vagyis amikor k ≠ m.

(Lásd. A korábbi integrál).

Továbbra is számítani integrálok négyzetének a funkciók a rendszer:

Meghatározása 3.Funktsionalny sorozat formájában

tagjai a funkciók a trigonometrikus rendszer