Abszolút és feltételesen konvergens sorozat
Több nazyvaetsyaabsolyutno konvergens. ha ryadtakzhe konvergál. Ha ryadskhoditsya teljesen, akkor konvergens (a szokásos értelemben). Az ellenkezője nem igaz.
Több nazyvaetsyauslovno konvergens. ha konvergál, és a sorozat modulokból álló tagjainak elágazik.
Konvergencia funkcionális szekvenciákat és sorok.
Funkcionális sorozat - sorozat minden tagja, amely, ellentétben a számsor ez nem egy számot, és a funkciót.
Tegyük fel, hogy egy sorozat komplex értékű függvények halmazán szerepel a d-dimenziós euklideszi térben.
A funkcionális szekvencia konvergál pontonkénti a funkciót, ha.
Van egy függvény, hogy:
egyenletes konvergenciája a szekvencia az a tény, funktsiizapisyvaetsya:
- N-naya részösszegként.
A hívott szám konvergens pontonkénti, ha a szekvenciát részleges összegek konvergál pontonkénti.
A hívott szám konvergens egyenletesen, ha a szekvenciát való részleges összege m konvergál egyenletesen.
Cauchy kritérium egyenletes konvergencia
Cauchy kritérium következetesség. Ez a szekvencia a funkciók halmazán megadott, egyenletesen konvergálnak ezen sor szükséges és elégséges, hogy az vsyakogosuschestvoval számát, úgy, hogy minden vsehbolshe ravnyhodnovremenno számára vsehvypolnyalos egyenlőtlenség
Hatványsorok. Abel-tétel és a következménye is. Sugár és konvergencia az integrál.
Funkcionális sorozat (u gdex0 meghatározott számú) nevezzük hatványsorba. A hatványsor konvergens x = x0 mindig. A feladat -, hogy vizsgálja hatványsorok konvergencia. A zamenyt = x -x0 aktív teljesítmény sorozat vezethet vidu- konvergál a t = 0.
Tétel Abelya.Pust hatványsor konvergens egy bizonyos ponton. Akkor ez a sorozat konvergens (egyáltalán).
Bizonyítás. Ryadskhoditsya a tochkex1 a szokásos smysleskhoditsyachislovaya posledovatelnostskhoditsya hogy nulyuogranichena, azaz
Gondoljuk csak meg: az összetartó, így a numerikus sorozat (az fiksirovannogox) konvergál az alapon sravneniyaskhoditsya teljesen a forgatáson | x | <|x1 |
Sledstvie.Esli hatványsor eltér tochkex2, akkor a sorozat eltér.
Opredelenie.EsliR- neotrichatelnoe számát vagy az a tulajdonsága, hogy a hálózati ryadskhoditsya a forgatáson | x |
Teorema.U vsyakgo hatványsor sugara van a konvergencia.
Bizonyítás. Puszta - a készlet minden nem negatív egész, ahol a fokozatot ryadskhoditsya.
Mivel a sorozat konvergál egy ponton (esetleg egyenlő). OboznachimR = SUPA. Azt állítjuk, chtoR - sugara konvergencia hatványsorba.
Fix, hogy meghatározzák a pontos felső granimchislotak kakryad konvergál tochkepo Abel-tétel konvergál a forgatáson | x | Mi fix az | x |> b> R, hogy. Ez a hatalom sorozat eltér tochkestepennoy sorozat divergens x (a következménye, hogy Abel-tétel) eltér a beállított | x |> R. SledovatelnoR = supa - sugara konvergenciájának hatványsorba. Keresse meg a sugár és az intervallum konvergencia hatványsorba. Határozat. Azt, hogy a változás: u = x + 3. Ezután a sorozatot formáját ölti. Kiszámoljuk a sugara konvergenciája: Ennek megfelelően, a konvergencia intervallum (- ∞; ∞). Határozzuk meg a sugár és időközönként konvergencia hatványsor. Határozat. Kiszámoljuk a sugara konvergenciája: Tekintsük a konvergencia a végpontokat. Ha x = -1, van eltérő sorozat. Eslix = 1, akkor a sorozatot divergál. Következésképpen, a forrás ryadskhoditsya nyílt intervallum (- 1, 1). Keresse meg a sugár és az intervallum a konvergencia a sorozat Határozat. Itt van. A sugara konvergencia egyenlő Azon a ponton, x = -1 van egy konvergens sorozat. Prix = 1 megkapjuk az eltérő harmonikus sor. Ily módon egy előre meghatározott számú skhoditsyaskhoditsya a félig nyitott intervallum [- 1; 1).