Alapjai az elmélet ortogonális jelek

Bemutatjuk a koncepció skalár szorzata vektortér elemei. A skalár szorzata valós jelek u és v:

A belső termék a következő tulajdonságokkal:

3. ahol - a valós szám

5. - helyesen Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség.

A lineáris tér a belső termék magában foglalja az egész határ pont olyan sorozatot konvergáló vektorok ezt a helyet nevezik igazi Hilbert tér H.

Ha a jelek, hogy komplex értékek, akkor tudjuk meg egy komplex Hilbert-tér.

Ha a jelek integrált, a skalár szorzat:

A két jel úgynevezett ortogonális, ha a belső termék, és így a kölcsönös energia egyenlő nullával:

Tegyük fel, hogy az intervallum beállítása végtelen rendszer funkcióit. merőlegesek egymásra, és egységnyi norma:

Azt mondják, hogy ugyanabban az időben a térben az adott jelzések ortonormált bázis. Felbontjuk egy tetszőleges jelet egy sorban:

Az ilyen ábrázolás az úgynevezett általánosított Fourier következő jelet a kiválasztott alapon.

Az együtthatók ezt a sorozatot a következők. Vegyük az alapvető funkciója egy véletlen számot. szaporodnak rajta mindkét oldalán (1,10), majd összegezni az eredményeket az idő függvényében:

Tekintettel orthonormality meghatározásának alapját a jobb oldali (1.11) lesz csak tagja az összeg a szobában. ezért:

Tekintsünk egy jelet. sorfejtés a ortonormált bázis rendszer kiszámítja az energia közvetlenül az esetben ez a sorozat a megfelelő egységes:

Mivel az alapvető rendszer ortonormált függvények, az összeg (1,13) nullától eltérő lesz csak a tagok számát. Ez azt eredményezi, figyelemre méltó eredmény, amely az úgynevezett Parseval egyenlőség:

Az mit jelent ez a képlet az összege az energia jeienergiája összes komponens, amelynek van egy általánosított Fourier-sor.