Alkalmazások A határozott integrál
13. Alkalmazások A határozott integrál.
# 9; Ebben a szakaszban, megbeszéljük néhány alkalmazás a határozott integrál, főként geometrikus - a számítási területen és mennyiségben. Itt adunk az egyenletet, és a kép számos görbék, amellyel fogunk dolgozni.
1. kör, az origón áthaladó a koordináta-rendszer. Az egyenlet a kör közepén C (a, b) R sugarú (X - a) 2 + (y - b) 2 = R 2. Ha kerülete áthalad a eredetű, akkor a 2 + b 2 = R 2, és az egyenlet formájában x 2 + y 2 = 2ax + 2by. A poláris koordináta ez az egyenlet így néz ki :. A jobb oldali ábra mutatja három ilyen körökben (a = 0, b = 3/2), (a = 1, b = 0), (a = -1, b = -3/2).
2. Spirál. Archimedes spirál. Az ábra azt mutatja, egy spirális, és.
A logaritmikus spirál. Az ábra azt mutatja, egy spirális, és.
Hiperbolikus spirál. Az ábra azt mutatja, egy spirális, és.
Nyilak minden spirálok irányát jelzik növekvő paramétert.
3. Kardioid. Három ilyen görbék jelennek meg a jobb oldalon. Descartes-egyenlet kardioid:
.
Kardioid paraméteres egyenletek:
Kardioid - egy különleges eset Pascal csiga.
4. Bernoulli lemniscate. Radical kifejezés nem negatív, és mikor. Descartes-féle egyenlet egy lemniszkáta (x 2 + y 2) 2 = 2a 2 (x 2 - y 2).
Lemniszkáta - a pontok helye M (x y.) Olyan, hogy. ahol F1 (-a 0.) és F2 (a 0.) - lemniszkáta gócok.
Az ábrán egy lemniszkáta.
5.Chetyrohlepestkovaya emelkedett. Descartes-féle egyenlet (x 2 + y 2) = 4a 2 3 2 x y 2. Minden egyes pont M (x y.) E görbe - a felületi normális OM. csökkent az origót a szegmens AB konstans hosszúságú 2a. mozgó úgy, hogy a végek a koordinátatengelyeken.
6. sweep (evolvens) a kerülete mentén minden egyes pont M (x y.) E görbe - a végén a menet, amely letekercselt kerülete x 2 + y 2 = a 2. maradék feszes. A kezdeti t = 0 időpontban a végén a menet van az A pont (a, 0).
7. Ez a görbe cikloist - pályáját az M pont (x y.) Kör sugarát. amely tekercsben nélkül megcsúszás a Ox tengelyen. A kezdeti t = 0 időpontban pont O (0, 0).
8. astroid derékszögű egyenlet. Minden pont M (x y.) E görbe - a bázis a merőleges PM. leesett a származási AB szakasz állandó hosszúságú. mozgó úgy, hogy a végek a koordinátatengelyeken. P pont - csúcsa a téglalap épített a szegmens AB, mint egy átlós. Az ábrán a astroid egy = 2.
# 9; 13.2.1. Descartes-koordinátákat. § 11.1.4. fogalmaztuk a geometriai jelentése a határozott integrál: ha f (x)> 0 a [a, b]. A terület egy ívelt ABCD trapéz. Korlátozott alsó szegmens [a, b]. a bal és jobb - jobb x = a és x = b. felső - az y = f (x). Corollárium: ha a szám határolt görbe felett y = f (x). alatt - a görbe y = g (x). a bal és jobb - egyenes szakaszok, x = a és x = b. hogy területe egyenlő.
Példa: Find a terület a D régióban által határolt görbék y = x 2 + x + 11, y = 2 x - 9, azzal a megkötéssel, hogy (további fogunk írni ezt :).
A fenti problémák megoldására elengedhetetlen, hogy ábrázolja a vizsgálat geometriai objektumok. Annak megállapítására, az alsó határ integrációra van szükség, hogy megtalálják a metszéspont a görbe; egyenlet x 2 + x + 11 = 2 x - 9 két gyökerei: x = -1, és x = 2 Megfelelő gyökér - x = -1. Régió határolja fent egy parabola, alsó - egyenes, jobbra - sor x = 1. legbaloldalibb pontja - x = -1. ezért # 9; Ha a terület összetett szerkezettel meg kell bontani egyszerű alkatrészeket.
# 9; 13.2.2. FIELD megadott polár koordinátákkal .. Ha a régió D - szektor által határolt gerendák, és a görbe. kiszámításának képlete A kapott területet a következő integrált szerkezetben. Elosztjuk az intervallum sugarak n darab; . Az egyes szegmensek úgy döntünk, egy tetszőleges pontot. találni. Ezt követően megegyezik a körcikk által határolt területen a sugarak, és az ív a kör sugara. Ötvözi ezekben az ágazatokban - ismét belépett alakja közelítése ezen a területen D. vonzáskörzetében. Amikor a különbség Sstup és S - négyzet alakú területének D - is általában nulla, azaz a .
Példák: 1. Keresse meg a terület által határolt lemniscate.
# 9; Határozat: A lényeg a lemniscate található ágazatok és; Ezen túlmenően, ha foglalkozik ilyen probléma célszerű használni a szimmetria a szám, így találunk része a terület található, az ágazat és a négyszeresére is :.
# 9; 2. Keressen egy terület, amely belül fekszik kardioid a körön kívül.
# 9; Megoldás: megtalálni a területen belül fekvő különbség egy kardioid és egy kört. Ahhoz, hogy a felső része a kardioid; a felső része a kerülete. ezért
# 9; 3. Keresse meg a fekvő terület a körön belül egy lemniszkáta.
# 9; Határozat. A metszéspontjait a kör van lemniscate és a feltétel FIELD szimmetrikus a sarki tengely, ezért számítani a területen a felső rész és megduplázva azt. Ha változik a sarki sugár változik a; amikor a változó a poláris sugara változik 0-tól; ezért
13.2.3. Kerület által határolt görbék megadott parametrikusan. Ha a görbe határoló ívelt trapéz ABCD (.., lásd a számítási 11.1.1 íves trapéz terület) meghatározott parametrikus formában; az átmenet a t változó integráns vezet a képlet.
Példa: megtalálni által határolt területen a astroid ().
Megoldás: A szimmetria az ábra. Meg fogjuk találni a terület a szám, található az első negyedben () és négyszeres azt. A lényeg (0, a) kapjuk meg. pont (a 0.) - amikor t = 0. Azonban
# 9; 13.3.1. Meghatározása rectifiable görbe és ívhossz. Tegyük fel, hogy a görbe AB definiált sík. Osztjuk a görbe pontok A = M0. M1. M2. ..., Mi -1. Mi. ..., Mn = b n alkatrészek és beírását egy szaggatott vonalú görbéje M0M1M2 ... Mi -1Mi ... Mn. ezeket összekötő pontokat. A hossza a sokszögű Llom összegével egyenlő a hosszával egyenes összekötő útvonalakat particionálás pont :. Most hagyjuk n számú partíció pontot a végtelenségig, hogy a maximális kapcsolat hossza nullához. Ha ebben az esetben van egy véges határérték sokszög Llom szekvencia hossza. független a módszer felosztása a görbe, akkor a görbe az úgynevezett rectifiable, és az értéke ez a határérték nevezik a hossza a görbe AB.
# 9; 13.3.2. A hossza a görbe derékszögű koordináta. Tegyük fel most, hogy a görbe AB - grafikon görbe függvény az y = f (x). amelynek folyamatos származékot. Ezután az M pont i koordinátái (x i. F (x i)). egység M i -1m i hossza. A függvény y = f (x), az [x i -1x i] feltételeit elégíti tétel Lagrange, azonban van egy pont olyan, hogy. Tekintettel ez az egység hosszúságú M i -1m I értékét. A teljes hossza a vonallánc -. Ez az összeg - az integrál összege az integrál. és mivel a folytonosság az integrandus, hajlamos azt. Így, a hossza a görbe által meghatározott derékszögű egyenlet y = f (x) ,. Ez adja ekv.
# 9; Példa: Find a hossza a szegmens a parabola y = x 2 egy pont (0,0) a B pont (2,4).
# 9; Megoldás :. így van.
# 9; 3.3.3. A görbe adott parametrikusan. Cserélje az x változó, hogy a t változó. Ettől. akkor. Így, a hossza a meghatározott görbe parametrikusan megadott képlet.
# 9; Például: megtalálják a hossza a letapogatási kerülete megfelelő részt egy fordulattal a menet.
# 9; Megoldás: A görbe által meghatározott egyenletek.
# 9; 13.3.4. A görbe adott poláris koordinátákat. Amikor a görbe az alábbi egyenlet adja. Ez könnyen csökkenthető az előzőt. Ettől. majd, figyelembe véve az polárszöget paraméterként, megkapjuk. ezért
.
# 9; Példa: Határozza meg a hossza a kardioid.
Megoldás :. így van. A válasz egyértelműen értelmetlen. Hol van a hiba? A hiba az, hogy a modul nem fogadott jel a négyzetgyöke. A helyes megoldás: Mivel azonban a korábbi esetekben, könnyebb kihasználni a szimmetria a szám, meg a hossza a felső ág és megduplázza a következő:
# 9; 13.4.1. Térfogatának kiszámításához a test keresztmetszeti területe. Legyen V testet helyezünk el a térben a síkok közötti x = a és x = b. és ismert a keresztmetszeti terület S = S (x). Ez szükséges, hogy meghatározzák a mennyiség a szervezetben.
# 9; Rassechom ez a test sík x = x0 = a. X = x1. X = x2. ..., x = x i -1. x = x i. ..., x = x n -1. X = X n = b n réteget (egy = x0
# 9; Példa: hogy megtalálják a térfogatát egy ellipszoid, elfordulását eredményezi az ellipszis a tengely körül Ox.
# 9; Megoldás: A probléma az, könnyebb megoldani, ha alkalmazza az ellipszis paraméteres egyenletet. A felső ív az ellipszis kapunk, ha a változó 0-tól t. Ezen a ponton a bal szélső pont az ellipszis felel meg a paraméter értékét t0. egyenlő. jobb szélső pontja felel meg a t érték k = 0. A képlet meghatározott görbe parametrikusan válik. így van.
# 9; Ha szükséges, hogy megtalálják a mennyiség a szervezetben, amelyet úgy kapunk, forgó síkidom köré ABCD Oy tengely. Azt állítják, másképpen. Osztjuk a testet az üreges henger a sugár x. vastagsága. magassága f (x). A kötet E henger egyenlő a termék a kerülettől a vastagsága és magassága az f (x); összeadjuk ezeket a köteteket, és halad a határ. Kapjuk.
# 9; 13.4.3. Térfogatú test, kapunk, ha forgó a szektor által határolt görbe és a sugarak és két poláris. a sarki tengely az alábbi képlet szerint.
# 9; Példa: megtalálni a kötet egy tórusz kapott forog körbe a sarki tengely.
Megoldás :.
# 9; A felülete által képezett forgástest tengelye körül forogva Ox differenciálható görbe által meghatározott képletek (attól függően, hogy a meghatározási módja a görbe)
(- kerülete a gyűrű - a szélessége).
# 9; Példa: keresési terület a tórusz alakult egy kör körül a forgástengely O X.
# 9; Megoldás :.