Általánosított Fourier-sor - studopediya

Matematikai leírását spektrális felbontása módszerek SIGNAL

Végtelen rendszer nem nulla valós függvények

Azt mondta, hogy ortogonális az [a, b], ha

Ez az állapot (2.2) fejezi rendszer kölcsönösen ortogonális függvények (2.1).

[A, b] az úgynevezett intervallum ortogonalitásának rendszer funkcióit.

Ez az úgynevezett normális működését.

Funkciót, amelynek az állapota

Ez az úgynevezett normalizált funkciót és normalizált rendszer funkciók (2.1), a két funkció, amely a feltétele ortogonalitás (2.2) nevezzük ortonormált rendszert.

Bizonyított, hogy ha egy függvény egy tetszőleges szakaszonként folytonos függvény, amelyre az alábbi feltételt:

Ez is képviselteti magát egy bizonyos összeget több

Az együtthatók a (2.6) vannak képlet által meghatározott:

Így több (2.6), amelyben az együtthatók által meghatározott (2,7) nevezik általánosított Fourier-sor a rendszer. A készlet együtthatók úgynevezett jel spektrumának a szakterületen és teljes mértékben ortogonális rendszerben, meghatározott ezt a jelet.

Általánosított Fourier a következő fontos tulajdonságokkal rendelkezik: a meghatározott függvény rendszert és egy fix számú szempontjából a sorozat (2.6) ez biztosítja a legjobb illeszkedést (abban az értelemben, minimális átlagos négyzetes hiba) a funkciót. Ez azt jelenti, hogy a standard hiba, ami azt jelenti, az érték

elér egy minimális, ha az együtthatókat a sorozat

Ez a tény arra utal, alapvető kapcsolat, amely érvényes minden ortogonális rendszer, amely az úgynevezett Bessel-egyenlőtlenség:

Ortogonális rendszer teljes, ha a növekedés a kifejezések száma a sorozat lehetővé teszi, hogy az átlagos négyzetes hiba M (2,8) önkényesen kicsi. teljesség állapota fejezhető aránya:

úgynevezett Parseval tétel. Ha a feltétel (2.10) akkor feltételezhetjük, hogy a sorozat (2.6) konvergál az átlag:

Ebből azonban nem az, hogy a sorozat konvergál minden x értékei.

A fő gyakorlati haszna van teljes ortonormált rendszerek funkciók, mint hiányos rendszerek nem teszik lehetővé a konvergencia bővülésének négyzetes integrálható függvények. De annak ellenére, hogy ez a néhány részleges rendszereket is alkalmaznak. Például a kimeneti feszültség az ideális aluláteresztő szűrő lehet pontosan képviseli sorfejtéssel hiányos ortogonális függvények