Az e szám
Tétel. A szekvenciát az általános kifejezés egy véges határérték.
Megjegyzés. e szimbólum használják utal ezt a határt.
Az e szám irracionális, a közelítő értéke, amely egyenlő
Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy monoton növekvő sorrendben. Szerint binomu Newton
Összehasonlítható kifejezéseket és.
Először is, ez a két kifejezést tartalmaznak csak pozitív értelemben.
Másodszor, kezdve a második ciklus, mindegyik kifejezés a kifejezést több, mint a megfelelő kifejezés a kifejezést, mint
Harmadszor, a kifejezés áll, számos szempontból. ezért
Következő bebizonyítjuk, hogy a sorozat korlátozott. Valóban, az első tagja egyetlen monoton növekvő szekvencia a legnagyobb alsó korlát és így minden pozitív értékek n.
Most bebizonyítjuk, hogy létezik a felső határ. Nyilvánvaló, hogy
Ezen kívül minden k> 3. Ezután
A jobb oldali ez az egyenlőtlenség összege szempontjából exponenciálisan csökken. Mindenesetre aktusok száma, mint a felső határa az összeget. Így a szekvenciát az általános kifejezés
Ez jelenti a határolt monoton növekvő sorrendben, és ennek következtében egy véges határérték - szerint a tétel a monoton szekvenciák.