Csoportok és algebra

1.2 csoportok és algebra. alapfogalmak

definiálása csoport

Legyen egy sor eleme G g1. g2. gn. a következő tulajdonságokkal:
  1. Határozzuk meg a törvény a szorzás elemek gi gj = gk. és ha gi. gj G, majd gi gj = gk G,
    i, j, l = 1, 2. n.
  2. A törvény az asszociatív gi (gj gk) = (gi gj) gk.
  3. Van egy neutrális elem e EGI = gi. i = 1, 2 n.
  4. Van egy inverz elem g i-1. g i -1 gi = e, i = 1, 2 n.

Ezután a beállított G egy csoport g1 elemek. g2. gn

Egy egyszerű példa, úgy a forgatás a sík. Mi határozza meg a készlet $ minden forgatás szögekben # 966;
  1. Szorzás jog ebben az esetben - a mellett szög: # 966; 1 + # 966; 2 = # 966; 3. F.
  2. asszociatív törvény meg van írva, mint ( # 966; 1 + # 966; Kettő) + # 966; 3 = # 966; 1 + ( # 966; 2+ # 966; 3).
  3. Az azonosító elem ebben az esetben - a forgatás szöge 0 (+2 π n).
  4. Fordított elem ebben az esetben, megfordítása szögben - # 966; (+2 π n).

Így, forgási síkjára merőleges tengely körül, hogy a gép a választott csoport.
Tekintsük a forgástengelyei x, y, z, meghatároz egy Descartes-féle koordináta-rendszer három-dimenziós térben egy szöget # 952; 3 az X Y síkban a Z tengely körül:

ahol # 949; ijk - teljesen antiszimmetrikus harmadik helyezés. Megjegyezzük, hogy a mátrix Al l = 1, 2, 3, antiszimmetrikus, mivel -orthogonal mátrix Rk, azaz Amennyiben T jelentése átültetés ikonra. Forgatások lehet teljesen által meghatározott generátorok Al l = 1, 2, 3, más szóval, egy csoport 3-dimenziós fordulatok (például, sőt, az a folyamatos csoport legfeljebb diszkrét transzformáció) teljesen jellemezhető, algebra. azaz meghatározva Al generátorok. l = 1, 2, 3, és ezek lineáris kombinációi kommutáció kapcsolatok.

meghatározása az algebra

L - Lie algebra felett terén a valós számok K, ha:
(I) L jelentése egy lineáris tér fölött K (x L definiált szorzás száma K)
(Ii) a x, y L meghatározott kommutátor [x, y], továbbá tartozó L, ahol [x, y] a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
[X, y] = [x, y], [x, y] = [x, y] K és [X1 + X2. y] = [x1. Y] + [x2. y],
[X, Y1 + Y2] = [x, y1] + [x, y2] minden x, y L;
[X, X] = 0 minden x, y L;
[[X, y] z] + [[y, z] x] + [[Z, x] y] = 0 (Jacobi azonosság).