Egyenletek és egyenlőtlenségek egy változó

Egyenlet egy változó. Egyenlőség, amely tartalmaz egy variábilis nevezett egyenlet egy változó vagy egy egyenletet egy ismeretlen. Például, egy egyenletet egy változó a egyenletet 3 (2x + 7) = 4-1.

A gyökér vagy egyenlet megoldása a változó értékét, amelyre a egyenlet igaz lesz numerikus egyenlőséget.

Oldjuk meg az egyenletet - ez azt jelenti, hogy megtalálja az összes gyökereit vagy annak bizonyítására, hogy a gyökerek nem.

Az egyenleteket nevezzük ekvipotenciális ha minden gyökerei az első egyenlet a gyökerei a második egyenletbe, és fordítva, a gyökerei a második egyenlet a gyökerei az első egyenlet, vagy ha mindkét egyenletben nincs gyökere. Például, az x = 8 és 2 x 20 + 10 = egyenértékű, mert gyökere az első egyenletben x = 10 a gyökere, és a második egyenletet, mindkét egyenletben van egy gyökere.

Tétel az ekvivalencia egyenlet. Az első három tétel - „csendes”, ezek garantálják az ekvivalencia transzformációk nélkül további feltételeket, használatuk nem okoz gondot a döntő.

1. Tétel Ha bármely tagja az egyenlet áthelyezni egyik része az egyenletnek a másik ellenkező előjelűek, megkapjuk az egyenletet, amely egyenértékű az ezen.

2. tétel Ha mindkét oldalán emelt azonos páratlan fokú, megkapjuk az egyenletet, amely egyenértékű az ezen.

3. tétel exponenciális egyenlet

A következő három tétel - „nyugtalan”, működnek csak bizonyos feltételek mellett, és ezért nem lehet megvalósítani, valami baj megoldása egyenletek.

A domén definíció az egyenlet f (x) = g (x) vagy egy sor megengedett értékek (TCC) változó a beállított értékek az x változó, amelyben mindkettő a jelentését a kifejezések f (x) és g (x).

Tétel 4. Ha mindkét oldalán az egyenlet f (x) = g (x) megszorozzuk az azonos expressziós h (x):

a) van egy jelentése mindenütt a domain (a tolerancia tartományban) az f (x) = g (x);

b) bárhol ezen a területen nem válik 0 - megkapjuk az egyenletet f (x) h (x) = g (x) h (x), amely egyenértékű az e.

Ennek folyománya 4. tétel egy másik „csendes” nyilatkozata: ha mind részei az egyenletnek szorzata vagy hányadosa ugyanaz nem nulla szám, akkor kap egy egyenletet egyenértékűek ezen.

Tétel 5. Ha mindkét oldalán az egyenlet f (x) = g (x) nem negatív a meghatározás egyenletben, megépítése után a két rész egy és ugyanazon sőt mértékben n egyenlet, amely megfelel a jelenlegi,: f (x) n = g ( x) N.

Tétel 6. Ha az f (x)> 0, és g (x)> 0, a logaritmikus egyenlettel

. egyenértékű az egyenlet f (x) = g (x).

Lineáris egyenlőtlenségek egy változót. Ha az x változó, hogy bármilyen számszerű értékét, megkapjuk numerikus egyenlőtlenség, amelyek vagy igaz vagy hamis állítás. Tegyük fel például, mivel a egyenlőtlenség 5x-1> 3 + 2. Amikor x = 2 megkapjuk 5 · 2.1> 3 · 2 + 2 - igaz állítás (helyes numerikus megnyilatkozás); ha x = 0 azt kapjuk, 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - egy hamis állítás. Bármely változó értékét, amelynél ez az egyenlőtlenség változó igaz lesz numerikus egyenlőtlenség nevezzük megoldás az egyenlőtlenség. Oldjuk meg az egyenlőtlenség változó - azt jelenti, hogy megtalálják a készlet minden döntéseit.

Két egyenlőtlenségek egy X változó azt mondják, hogy egyenértékű, ha a sor megoldást ezen egyenlőtlenségek egybeesnek.

Az alapötlet az oldatot egyenlőtlenség a következő: helyettesítjük ez az egyenlőtlenség egy másik, egyszerűbb, de egyenértékű a jelen; A kapott egyenlőtlenség ismét helyébe az egyszerűbb egyenlőtlenség egyenértékű vele, stb

Ilyen helyettesítéseket alapján készült az alábbi állítások.

1. Tétel Ha bármely tagja az egyenlőtlenség egy változó áthelyezni egyik oldalon a másik az ellenkező előjelű, ugyanakkor változatlanul hagyhatják a jele az egyenlőtlenség, megkapjuk az egyenlőtlenség ekvivalens ezt.

2. Tétel Ha mindkét oldalán a egy változó szorzata vagy osztva azonos pozitív szám, ugyanakkor változatlanul hagyhatják a jele egyenlőtlenség, megkapjuk egyenlőtlenség egyenértékű e.

3. tétel Ha mindkét oldalán a egyenlőtlenség egy változó szorzata vagy hányadosa azonos negatív szám, a változó jele egyenlőtlenség megfordul, megkapjuk az egyenlőtlenség ekvivalens ezt.

Lineáris egyenlőtlenség nevezett típusú ax + b> 0 (rendre, ax + b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.