Exponenciális függvény, matematika, rajongók powered by Wikia
Exponenciális függvény - a funkciót általában jelöli egy x. ahol egy - egy valós szám. és X - változó. Ha egy (más néven a bázis) az e szám. akkor a függvény az úgynevezett exponenciális.
Levezetjük a létezését és tulajdonságait a függvény e x alapján az elmélet a korlátokat.
A bevezetés az exponenciális függvény szerkesztése
Tekintsünk egy szekvenciát egy (X) =, jelöljük vele limit :.
- a (0) = 1;
- egy (1) = e definíció szerint;
Ezért, ha a határérték létezik valamely x, akkor a nem-negatív. Mi most azt mutatják, hogy minden x sorrendben egy (x) konvergál, és így, a (x) függvény definiált, bármilyen valós x. Először bebizonyítjuk az egyhangúságot egy (x). Mint már említettük, minden x, kezdve néhány N, minden tagja a sorozat pozitív, így félelem nélkül úgy az ilyen n roll. Átalakítani, hogy: ====. Most, hogy a bal szélső alkalmazandó szorzó Bernoulli egyenlőtlenség és azt kapjuk, hogy az összes expresszió nagyobb (n szigorúan nagyobb, mint néhány N1), mint a = 1. Ennek következtében, a szekvencia növekszik. Mert létezik a határérték is szükség van korlátos felett. Lássuk be, és őt. egy (x) egy (-x) =, így egy (X) =. A tört számlálója a jobb oldalon egy elég nagy n értéke nullánál nagyobb, de mindig kevesebb, mint az egység, a nevező, ahogyan az már bizonyított, és növeli az elegendően nagy n nagyobb, mint nulla. Fix egyes n = N2. hogy a nevező értéke nullánál nagyobb. Ezután a bal oldalon mindig kevesebb, azaz állandó. Ezért a szekvencia nagyon korlátozott, és egy (X) van definiálva mindenhol.
tulajdonságok szerkesztése
Bemutatjuk a tulajdonságok a bevezetett minket a funkciót.
1). egy (x + y) = a (x) a (Y). Ennek bizonyítására hadd bizonyítani lemma első: ha, akkor.
Elég nagy n | αn | Ez lesz kevesebb, mint az egység; Bernoulli kapjuk, hogy = az egyenlőtlenség. Látjuk, hogy a bal oldali és a jobb szélső részek hajlamosak egységét, ezért a tétel a egyenlőtlenség korlátokat. és közöttük létrejött expressziós hajlamos ugyanazt a számot, h. t. d.
Most a bizonyíték a tényleges tulajdonságai. a (X) a (Y) = = = = =, ahol α =. Ebből az is következik, hogy a (X) a (-x) = 1.
2). Az épület 1, hogy minden x egy (x) nem-negatív, de a (x) = a (x / 2 + X / 2) = a (x) 2. és így, a (X) mindig pozitív.
3). a (X) növekszik. Valóban, ha x2> x1. majd a (x2) = a (x1 + (x2 - x1)) = a (x1) egy (x2 - x1), ahol a (X1) pozitív, és a következő tényező nagyobb, mint egy (mivel, mind a szerint azonos Bernoulli-egyenlőtlenség , egy (X)> = 1 + x).
4). a (x) folytonos. Megmutatjuk, folytonosság nulla: 1 + x, és ezért a határérték egyenlő egység - nulla érték nulla. Ha megnézzük x0. azt látjuk, hogy a (X) = a (x0) egy (X-x0), hajlamos x X0 Jobb faktor hajlamos 1, és így korlátozzák a (x) egy pontban értékével egyenlő ez ugyanazon a ponton, h. m . d.
Most nézzük meg közelebbről a megadott funkciót. a (nx) = a ((n - 1) x + x) = ... = (a (X)) n; egy (1) = e, egy (1 / n) = E 1 / n. egy (m / n) = e m / n. egy (-m / n) = e -m / n. Mindez könnyen megjeleníthető. Kiderült, hogy a racionális számok bemenet működése azonos a funkciója e x; sőt, ez ugyanaz vele.