Fourier módszer (eljárás szétválasztása változók) - studopediya

Tekintsük a Fourier eljárásnak egy példája egy eljárás a kevert megoldást a problémára a hővezetési egyenlet esetében egy térbeli változó.

Probléma 1. Keresse meg a megoldást a homogén egyenlet

kielégíti a kezdeti feltétel

és a nulla (homogén) peremfeltételek:

A módszer lényege az, hogy vizsgálja meg a nem-triviális egyenlet megoldásai (1), amely megfelel a peremfeltételek (3), formájában

Behelyettesítve (4) be (1) megkapjuk

Mivel a bal oldalon az egyenlet függvénye. és a jobb oldalon csak. hogy az egyenlőség akkor lehetséges, ha azok azonos konstans:

Ezért megkapjuk két közönséges differenciálegyenletek:

továbbá eleget tesznek a. .

Így, hogy meghatározzák a funkció már a sajátérték probléma: megtalálni azokat a paraméterek. ahol olyan nem-triviális megoldás a problémára

Tekintsük három esetben.

1. Legyen. Keressük a megoldást differenciálegyenletek.

. - két valós gyöke. Az általános megoldás adja

. Az a követelmény, a peremfeltételek is:

Meghatározója a rendszer. Ennek következtében, amikor már csak triviális megoldás.

2. Legyen. Keressük a megoldást differenciálegyenletek.

. - többszörös gyökér. Az általános megoldás adja

. Az a követelmény, a peremfeltételek is:

Ahonnan következik, hogy amikor már csak triviális megoldás.

3. Let. Keressük a megoldást differenciálegyenletek.

. - két komplex-konjugált gyökkel. Az általános megoldás adja

. Az a követelmény, a peremfeltételek is:

A rendszernek van egy triviális megoldás akkor, ha determinánsa nulla vagy kódot. ezért. Így, a nem-triviális megoldások a probléma (7) csak akkor lehetséges, ha

A rendszer (*), megkapjuk, és így,

vannak sajátfüggvények a Sturm-Liouville (7) egyenlet.

Megfelelő függvény definíciója akár állandó tényező.

Most viszont, hogy a egyenlet megoldása (5). Ha formában van

Mi megoldjuk ezt az egyenletet elválasztásával változók. ahol vagy

ahol - tetszőleges állandók. Így, összhangban (4) csak a funkció

Győznie egyenlet (1), és a peremfeltételek (3).

Formában a hivatalos sorozat (összegeként határozatok)

és megkövetelik, hogy a funkciója megfelel a kezdeti feltétel (2). megkapjuk

Az eredményül kapott szám tágította a Fourier sine sorozat az intervallumban. Az együtthatók A sorozat által adott ismert képletek

Így a függvény, mint egy sor (8), az együtthatók a amelyek által meghatározott képletek (9) a megoldást a probléma (1) - (3).

Találjanak megoldást az inhomogén hőegyenletre

kielégíti a kezdeti feltétel

és a nulla (homogén) peremfeltételek:

Tegyük fel, hogy a függvény folytonos, és van egy folyamatos származék, és az összes feltételt.

Az oldat (10) - (12) kell törekedni formájában

ahol - a probléma megoldása

és a funkció - a probléma megoldása

A probléma (15) - az a feladat az 1. és az oldatot ismert.

Tekintsük a probléma (14). Mi kell keresni a megoldást formájában egy sor

a sajátfüggvények megfelelő Sturm-Liouville (7)

Behelyettesítve (16) a differenciálegyenletének (14) \ találni származékok:

Ennek eredményeképpen megkapjuk a helyettesítés

Nagyítás A függvény Fourier-sor szinusz

A kapott differenciálegyenletek, szükséges hozzáadni a kezdeti feltételek a probléma (14):

Mi megoldása közönséges differenciálegyenlet módszer Bernoulli.

Behelyettesítve (17) a (16), így a megoldás a (14)

A funkció előállítása 2.

Megtalálja a megoldást az inhomogén egyenlet

kielégíti a kezdeti feltétel

inhomogén peremfeltételek:

Bemutatjuk az új funkciója ismeretlen. ahol

Funkció találunk egyenlet megoldása

a kezdeti feltételek

és a peremfeltételek

majd az oldatot csökken a problémát 2.

Mert létezik egy klasszikus probléma megoldása 3, meg kell a funkciót. . Ezek a folyamatos, és tárgyalni a feltételeket. .

A funkció. folyamatos zárt régió elvét tartja a maximális értéket.

Tétel. Ha ez a funkció. kielégíti az egyenletet hővezetési azokon a területen. a maximális és minimális értékei funkció érhető el, vagy a kezdeti időben. vagy a határpont és a szegmens.

A maximális elve azt jelenti, két tétel

Tétel. (Egyediség) 3. megoldás egy téglalap egyedülálló.

Tétel. 3. megoldás folyamatosan függ a kezdeti és peremfeltételek funkciókat.

- a feladat (14), amelyben. . A megoldás a következő: