Gis-lab polinom transzformációk

Képletek és példák a polinomiális transzformációk települések

Formula polinom transzformációk használnak lefordítani az eredeti koordinátáit (az általában a helyi-téglalap alakú), hogy a végső (általában úgy tervezték, - téglalap alakú). Attól függően, hogy a kép torzulását mennyiségét ellenőrzési pontok (GCP - földi ellenőrzési pont), és azok elhelyezése egymáshoz képest, hogy kifejezze a szükséges átalakítást igényel meglehetősen összetett Polynomial formula. A komplexitás a polinomot kifejezve a sorrendjét. A rend - egy olyan mutató, a legmagasabb fokozatot a polinom.

Konverziós 1. érdekében - lineáris transzformáció. Ez az átalakítás változhat:

  • helyzetben X és / vagy Y; Helyzetének megváltoztatása, mozog a kép egy bizonyos pixelek száma X és Y.
  • skála mentén X és / vagy Y; A skálázási tényezők X és Y eltérő lehet
  • dőlés X és / vagy Y;
  • kapcsolja; Ha forgatja, akkor azonosítani bármilyen pozitív vagy negatív, hogy hány fokot forgatni a po és az óramutató járásával ellentétes sorrendben. Forgatás körül következik be központi pixel a kép.
  • reflexió; balról jobbra, fentről lefelé, fentről lefelé és balról jobbra (hasonló forgómozgást 180 fokkal)

Átalakítása 1. sorrend is használható lefordítani a forrás (például csak szkennelt) képeket egy derékszögű koordináta-rendszert, átalakítani egy derékszögű koordináta-rendszer egy másik, általában használni erre a transzformációs relatív kis fragmentumokat.

Alkalmazási példák Az átalakulás lehet: kijavítása torzulásokat távérzékelési adatok, rotációs szkennelt topográfiai lemezek, és forgása a leszálló pályája adatokat úgy, hogy az északi volt tetején a kép (és nem mentén pályára).

Conversion 1. rendű is használható adatokat, amelyek már előre jelezte a síkra. Például, gyakran távérzékelési adatok már a helyi derékszögű koordináta-rendszert, de nem csökken a megfelelő kiálló. Ha ez a fajta átalakulás, ez nem jelentős emelkedést átalakítás érdekében, ha van egy nagy átlagos négyzetes hiba, ha az első rendelésre. Először is meg kell ellenőrizni, hogy más lehetséges hibaforrások: referenciapontjaiként, forgalmazási és egyéb lehetséges torzítások.

Az ábra azt mutatja, hogy az adat változik alatt lineáris transzformációk.

Ahhoz, hogy végre az első fokú polinom átalakítani kell találni hat együtthatók - három az egyes koordináta (X és Y): A0. a1. a2. b0. b1. b2. Ezek az együtthatók ezután használjuk fel a tényleges konverziós többtagú egyenletek az első fokú (egyenértékű affin transzformáció):

ahol x, y - koordinátáit a forrás, x0, y0 - végpontjának koordinátái

Nemlineáris transzformációk - egy átalakulás a 2. vagy több sorrendben. Ezek az átalakítások állíthatja a nemlineáris torzítás. Az ábra példákat mutat az eredmények néhány nemlineáris transzformációk.

Transzformációk 2. sorrend is használható átalakítani az adatokat egy földrajzi koordináta-rendszer (szélesség, hosszúság) egy téglalap alakú, adatkonvertálásra nagy területek (a számlát a Föld görbületét), hogy pontosan horgony által torzított valamilyen okból vagy más adatok (például iz a kamera objektív torzítása, rosszul beolvasott anyagok), stb

A transzformációs mátrix úgy számítjuk ki, az ellenőrzési pontokat. A mátrix áll az együtthatók polinomok használják a koordináta konverzió képletek. A dimenziója a mátrix függ a sorrendben által használt konverziós. Transzformációs mátrix együtthatók úgy vannak kiszámítva, hogy megkapjuk a képletű polinomiális transzformáció a lehető legkisebb hiba a fordítása az eredeti koordináták végén. Get árak, amelyek nem vezetnek a hibákat nem mindig lehetséges. Egy példa szemlélteti a relatív hiba a kezdeti helyzetébe és a végső görbe, amely megközelíti a közöttük fennálló kapcsolat által kifejezett egy polinom (nem az összes pontot esik egy egyenesre, a távolság a kiindulási pont, hogy a polinom görbe, - az átlagos négyzetes hiba). Az egyszerűség kedvéért, a példa mutatja, csak az arány a kezdeti és a végső koordinátái X és leírja a görbe, a valós életben, a kezdeti koordinátákat és végén koordináták 2 2, úgy, hogy a közöttük fennálló kapcsolat nem közelíthető egy görbe és sík.

Száma transzformációs mátrix együtthatók átalakításához a sorrendben t egyenlő:

Ezt a számot meg kell szorozni 2 - két együttható készletek, egy - az X, Y tehát több mint egy egyszerű képlet, az együtthatók száma:

Nyilvánvaló, hogy a dimenzió transzformációs mátrixot konverziós növekedésével nő annak érdekében, illetve a minimális számú ellenőrzési pontot a számításhoz szükséges együtthatók a mátrix is ​​növeli.

Minden ellenőrző pont érinti a becsült együtthatók. ha nem tökéletesen összeillenek ellenőrző pont polinom, amely képviseli a ezek az együtthatók. A távolság a görbe és a számított pont koordinátáit - úgynevezett hiba RMS (négyzetes középérték hibának értelemben). Kiszámításához a transzformációs mátrix a halmaza alkalmazott ellenőrzési pontok közepes négyzetes regressziós módszerrel (legkisebb négyzetek módszere) alapján az ellenőrzési pontokat az eredeti felhasználó rendez (bind) egy anyag a végső anyagot (az egyik, amelyhez a nyakkendő).

A képlet a polinom rend t

Ahol: T - polinomot, ak és bk - együtthatók, a k index az ak és bk kiszámítani:

Például, átalakítani a harmadrendű együtthatók 20 lesz használva:

A képlet átalakítására a 3. sorrendben kiszámítása után az együtthatók néz ki:

Hatása átalakítás a rend

A számítási képletek magas érdekében polinomot és a kimeneti érték sokkal nehezebb, mint a számítás első rendű polinomot. Ezért, a nagy érdekében polinomot használjuk képek igénylő kötődni bonyolultabb torzulások. Ahhoz, hogy megértsük a hatása a különböző megbízások átalakító kép helyesbítését hasznos figyelembe venni a termelés értéke a polinomok a különböző megrendelések.

Ebben a példában, az egyszerű, a csak egy koordináta (X), kettő helyett (X, Y), amely a számítás, egy polinomot átalakulás. Ez lehetővé teszi a használatát két dimenziós grafikonok mutatják be, hogyan használatának az átalakítás egy bizonyos sorrendben társítja a forrás és a cél koordinátáit. Tekintettel arra, hogy a példában csak az X koordináta, a számos alkalmazott ellenőrzési pontok kevésbé valóban szükséges az adott megbízás változik.

Együtthatók, mint például azok, a példában használt általában számítják a legkisebb négyzetek módszerével. Tegyük fel, hogy a következő referenciapontok megadva:

Kezdeti X koordináta

Végső X koordináta

Ezek a pontok lehetővé teszik átalakítására az 1. ahhoz, hogy a koordinátái X, amelyek megfelelnek a következő egyenlet (együtthatók zárójelben):

Ahol: xr = végződő X koordináta, xi = a kezdeti X koordináta

Ebben az esetben, az egyenlet veszi azonos formában a vonal egyenlete (y = b + MX), és így a linearitást az átalakulás.

Mi történik azonban akkor, ha a második ellenőrző pont módosítására?

Kezdeti X koordináta

Végső X koordináta

Ezek a pontok nem csatlakoztatható egy egyenes vonal, ami azt jelenti, hogy nem lehet őket le a polinom sorrendben 1, a fent leírtak szerint.

Ebben az esetben ezek a pontok vannak kifejezve a polinom 2. sorrendben:

Polinomjai 2. rend és magasabb - lineáris.

Mi van, ha egy újabb ellenőrző pont?

Kezdeti X koordináta

Végső X koordináta

Amint az ábrán látható, a negyedik pont fekszik a görbe által kifejezett egy polinomiális egyenlet a sorrendben 2. Ahhoz, hogy az összes pontot feküdt a görbe, a sorrendben az átalakulás kell növelni, hogy 3. Az így kapott egyenlet, és a görbe az ábrán látható.

Az ábra illusztrálja a átalakítását 3. sorrendben. Azonban, talán ez túl bonyolult egyenlet. Koordináta-átalakítás segítségével az egyenletben okozhat váratlan változások a kapott képet, amikor megpróbálja elérni a legjobb illeszkedést az eredeti ellenőrzési pontot ér. Talán, ebben a példában, használata konverziós 3. érdekében szükségtelen volt, mivel a kapott képpontok sorrendje eltér a megadott sorrendben a bemeneti képpont X-tengely (4 pont emelkedett a helyén 3, 3: 4 hely).

Kezdeti X koordináta

Végső X koordináta

X (1)> x (2)> x (4)> X (3)

Ebben az esetben az átalakítás a magasabb rendű nem lehet a kívánt eredményt, a kép erősen torzított.

A minimális számú ellenőrző pontok

A konverzió magasabb rendű lehet használni, hogy helyes nagyon összetett típusú torzítás. Ugyanakkor egyre nagyobb száma ellenőrzési pontok használatához szükséges magasabb rendű transzformációk. Például a sík által meghatározott 3 pont. így alkalmazása az átalakulás az 1. rend, amit kifejez a gépet egyenlet minimum 3 pont. Hasonlóképpen, az átalakítás a 2-edrendű által expresszált paraboloid. Annak megállapításához, az egyenlet a paraboloid igényel 6 pont. Ezért legalább 6 referenciapontot szükséges az átalakítás a 2. sorrendben. A minimális számú pontot átalakításához szükséges T-edrendű a következőképpen számítjuk:

Segítségével olyan mennyiségben, mint a minimális referencia pontok is lehetséges. Bár talán ez adja a jobb illeszkedés, gyakran növeli a pontok száma nem számít.

A következő táblázat a minimális számú ellenőrzés szükséges pontokat átalakulás megrendelések 1-10 percig.

A minimális számú ellenőrző pontok