indukciós módszer

Az egyik legfontosabb eszköze a matematikai bizonyítások a jobb oldalon a módszer matematikai indukció. A túlnyomó többsége a képletek, amelyek az összes n természetes szám. bizonyítható indukciós (például képlet mennyiségű első n egy számtani sorozat, a Newton binomiális képlet stb).

Ebben a cikkben először összpontosítani az alapvető fogalmakat, akkor tartja magát eljárás indukció és elemezze példái annak alkalmazása az igazolást egyenlőségek és egyenlőtlenségek.

Oldalnavigáció.

Indukció és a dedukció.

Az indukciós hívják az átmenetet a saját általános kijelentéseket. Éppen ellenkezőleg, az átmenet általános kijelentéseket, különösen az úgynevezett levonás.

Egy példa a saját nyilatkozatai: 254 osztva 2 maradék nélkül.

súlya csak általános kijelentéseket lehet megfogalmazni ebben a konkrét állítás, igaz és hamis. Például egy általános nyilatkozatot, hogy egész számokat végződő négyszeres osztva 2 maradék nélkül igaz, és az az állítás, hogy mind a három számjegyű szám osztva 2 maradék nélkül hamis.

Így indukciós biztosít egy sor általános megállapítások alapján ismert vagy nyilvánvaló tényeket. A matematikai indukció módszer célja, hogy meghatározza az érvényességét az állításokat.

Példaként tekintsük a számszerű sorrendben :, n - természetes szám. Ezután a szekvenciája összegeket az első n elemeit ez a szekvencia a következő

Ebből az a tény, lehet vitatkozni indukcióval, hogy.

Ennek bizonyítéka képletű adni az alábbiakban.

indukciós módszer.

A módszer alapja az az elv, teljes indukció indukció.

Ez áll a következő: egy állítás igaz minden n pozitív egész. ha

1. ez igaz n = 1 és
2. érvényességét jóváhagyások bármely tetszőleges pozitív egész n = k magában annak érvényességét n = k + 1.

Azaz, a bizonyíték a módszer matematikai indukció végezzük három szakaszból áll:

1. Először is ellenőrizni állítás bármely n természetes szám (jellemzően csinál n = 1);
2. Másodszor, azt feltételezzük, hogy az állítás bármely természetes n = k;
3. Harmadszor, az az állítás, bizonyított a száma n = k + 1. abból a feltevésből kiindulva a második bekezdés.

Példák bizonyítékok és egyenlőtlenségek indukcióval.

Visszatérve az előző példában, és bizonyítani formula.

indukciós módszer megköveteli igazolás három pontot.

1. Azt ellenőrzi, hogy az n = 1 Van. Igaz egyenlőséget.
2. Tegyük fel, hogy van egy tisztességes formula.

Azt bizonyítja, hogy kezdve a méltányos esélyegyenlőség a második bekezdés.

A k + 1 az első szempontjából a szekvencia az összege az első k szempontjából a kezdeti számsorozat, és a k + 1 th tag:

Mivel a második bekezdés

Továbbra is, hogy a közös nevező a frakció, hogy ilyen feltételek, használja a képlet a rövidített szorzást összegének négyzetével, és csökkentések:

Következésképpen beláttuk az egyenlőség a harmadik bekezdés.

Így mindhárom eljárás lépéseit indukció, és így feltételezésünket igazolta a képlet.

Nézzünk egy trigonometrikus probléma.