Kiszámítása a potenciális területén derékszögű koordináta - studopediya
Ezt fel lehet használni, hogy megtalálják a potenciális funkciója egy meghatározott területen a potenciális
egy (x, y, z) = P (x, y, z) i + q (x, y, z) j + R (x, y, z) k.
Ehhez rögzítse a kezdőpont M0 (X0 Y0 Z0 ..), és csatlakoztak hozzá, hogy az aktuális pont M (x, y, z) sokszög M0 AVM egységek, amelyek párhuzamosak a koordináta tengely mentén, M0 A # 9553; Ó, AB # 9553 ; Ou VM # 9553; Oz (6.2 ábra). Ezután (6,6) formájában
ahol x, y, z-koordináták az aktuális pont kapcsolatokat szaggatott vonal, amely mentén az integráció végezzük.
Példa 6.7. Bizonyítsuk be, hogy a vektor mező
a = (E + Z) i + (x + z) j + (x + y) K
Ez egy lehetséges, és megtalálja benne rejlő lehetőségeket.
Határozat. 1. utat. A szükséges és elégséges feltétele a potenciális mező egy (M) egyenlő nullával rothadás a (M). A mi esetünkben,
t. e. a potenciális területen. Lehetséges ezen mező segítségével határozzuk meg (6.10). A meghatározott kiindulási pont veszi a származási O (0, 0, 0). Aztán kapunk
ahol c egy tetszőleges konstans.
2. utat. A meghatározás szerint a potenciális skalár függvény, amelyre grad # 966; = a. Ez a vektor egyenlet ez egyenértékű három skalár egyenletet:
Integrálása (6.12) az X, megkapjuk
ahol f (y, z) egy tetszőleges differenciálható függvénye y és z. Differenciálás mindkét oldalán (6,12), valamint a (6.11), megkapjuk a kapcsolatban megtalálása még nem definiált függvény f (y, z). van
,
Integrálása (6,16) képest y, mi
ahol F (Z) - még nem definiált értékét z függvényében. Behelyettesítve (6.17) a (6.11), megkapjuk
.
Differenciálása az utolsó egyenlet által adott z, és az arány (6,12), megkapjuk az egyenlet F (z):
Itt van. így van.
.
A harmadik módszer. Definíció szerint, a teljes eltérés funkció van
Behelyettesítve a részleges származékok. . a kifejezéseket (6,10), (6,11), (6,12), azt kapjuk,
d # 966; = (Y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz
vagy után egyszerű átalakítások,
d # 966; = (ydx + xdy) + (ZDX + Xdz) + (ydz + zdy) = d (xy) + d (XZ) + d (yz) = d (xy + XZ + YZ).
Ebből következik, hogy
.
Ebben az esetben, ha a terület # 937; Ez egy csillag a központ a származási O (0, 0, 0), a potenciális # 966, (M) = a vektor mező és (M) az M pont (x, y, z) megtalálható a következő képlettel
ahol r (M) = xi + yj + zk- sugara vektor egy M pont (x, y, z), és azt a pontot (TX, Ty, tz) fut OM vonalszakasz ponton áthaladó O és M.
Példa 6.8. Megtalálják a potenciális vektormez®
a = yzi + xzj + xyk.
Határozat. Könnyen belátható, hogy rothad a 0 ,. E. Mivel vektor potenciál területén. Ez a mező határozza mindhárom dimenzióban, amely egy csillag a központ a származási O (0, 0, 0), így a helyét a potenciális használat (6.12). Mivel ebben az esetben
a () = és (TX, Ty, tz) = t 2 2 yzi + t xzj + t 2 xyk,
skalár szorzata vektorok egy () és R (M) egyenlő
(A (), R (M)) = t 2 (XYZ + XYZ + XYZ) = 3t 2 xyz.