Legnagyobb közös osztó

A legnagyobb közös osztója (GCD) két egész szám, m és n jelentése a legnagyobb közös osztó őket. [1] Példa: a 70-es és 105 a legnagyobb közös osztója 35.

A legnagyobb közös osztó létezik, és egyértelműen meghatározzák, ha legalább az egyik szám m vagy n értéke nem nulla.

Lehetséges jelöli a legnagyobb közös osztója a számok m és n:

A koncepció a legnagyobb közös osztó természetesen általánosítható készlet több mint két egész szám.

Legkisebb közös többszörös

NOC nem nulla egészek m és n értéke minden esetben fennáll, és kapcsolatban van a GCD következő összefüggés:

Ez egy speciális esete egy általánosabb tétel: ha egy 1. a 2. .... a n, egy _, \ pontok, a_> - száma nem nulla, D - azok bármilyen közös többszörös, az alábbi képlet érvényes:

relatív prím

M és n jelentése az úgynevezett viszonylag elsődleges. ha nincs közös osztók kívüli egység. Ezek a számok GCD (m, n) = 1. Megfordítva, ha lnko (m, n) = 1, akkor a számok relatív prímek.

Hasonlóképpen, az egész egy 1. egy 2. ... k, a _, \ dots a_>. ahol k ≥ 2. azt mondta, hogy viszonylag egyszerű. ha a legnagyobb közös osztó az egyenlő eggyel.

Meg kell különböztetni a koncepció kölcsönös könnyedén. amikor GCD számok halmaza egyenlő 1 és páronként relatív prím. ahol lnko 1 minden páros számok a készlet. Páronként relatív prím magában foglalja az egyszerűség, de fordítva nem. Például, a legnagyobb közös osztója (6,10,15) = 1, de egy pár bármely ez meg nem relatív prím.

Hatékony módszerek alapján a legnagyobb közös osztója a két szám az euklideszi algoritmus és bináris algoritmus.

ahol p 1 .... p k, \ dots, Pi> - különböző prímszám, és d 1 .... d k, \ dots, D_> és e 1. .... e k, \ dots, E_> - nem negatív egész (ezek értéke nulla, ha a megfelelő, egyszerűen hiányzik a bővítés). Ezután GCD (m, n) és NOC (m, n) adja meg:

Ha több, mint két szám: a 1. a 2. ... a n, a _, \ dots a_>. a GCD a következő algoritmus:

  • Fő jellemzője: a legnagyobb közös osztója m és n osztható bármely közös osztója ezeket a számokat. Példa: a számok 12 és 18, a legnagyobb közös osztó értéke 6; osztható az összes közös osztója a számok 1, 2, 3, 6.
    • Corollárium 1: több közös osztója m és n egybeesik a beállított osztók GCD (n m.).
    • Corollárium 2: több közös többszöröse m és n egybeesik a készlet több LCM (m n.).
  • Ha m osztva n. a legnagyobb közös osztója (m. n) = n. Különösen, a legnagyobb közös osztója (n. N) = n.
  • (. A ⋅ m a ⋅ n) = | a | ⋅ (m n.) - közös tényező lehet venni, mint a jele GCD.
  • Ha D = (m. N). Miután elosztjuk száma D relatív prímek, azaz (m D. n D) = 1>, >> \ right) = 1>. Ez többek között azt jelenti, hogy ahhoz, hogy a lövés, hogy nem csökkenthető jelenti azt, hogy kell osztani a számláló és a nevező által GCD.
  • Multiplicativity. ha 1. a 2. a_> viszonylag fix, akkor:
(A 1 ⋅ a 2. b) = (a 1 b) ⋅ (a 2. b) \ cdot a_, b) = (A_, b) \ cdot (A_, b)>
  • A legnagyobb közös osztója a számok m és n lehet meghatározni, mint az a legkisebb pozitív eleme a készlet minden lineáris kombinációi közülük:
\ Right \ >> és így (m. N) képviseli, mint egy lineáris kombinációja a számok m és n. (M. N) = u ⋅ m + v ⋅ n. Ez az arány az úgynevezett Bezout kapcsolatban. és az együtthatók u és v - Bezout együtthatók. Bézout együtthatók kiszámítása hatékonyan kiterjesztett euklideszi algoritmus. Ez az állítás általánosítható készlet a természetes számok - a jelentése, hogy az alcsoport Z>. előállított halmazát ,a _, \ dots, egy _ \ >>. - ciklusos és generálja egy elem: GCD (a1 a2 ... an ...).

Variációk és általánosítások

A koncepció az oszthatóság egészek természetesen általánosítható tetszőleges kommutatív gyűrű. mint például a gyűrű polinomok vagy Gauss egészek. Azonban, hogy meghatározza GCD (a. B), mint a legnagyobb közös osztója a. b lehetetlen, mivel az ilyen gyűrűk, általánosságban elmondható, hogy nem határozták meg annak érdekében viszonyítva. Ezért, mivel a meghatározás figyelembe GCD alapvető tulajdonság:

A legnagyobb közös osztója lnko (a. B) az úgynevezett közös osztó, amely oszlik a többi közös tényezők a és b.

A természetes számok egy új meghatározás megegyezik a régi. Mert egész GCD egy új értelemben még nem világos: az ellentétes számot is GCD. Gauss számok számos különböző NOD emelkedik 4.

GCD két eleme kommutatív gyűrű, általában, nem kell, hogy létezik. Például az alábbi tételek a és b a gyűrű Z [- 3] \ left [> \ right]> nincs legnagyobb közös osztó:

Az euklideszi gyűrű legnagyobb közös osztó mindig létezik, és határozzuk meg akár az osztó egység. azaz a csomópontok száma a száma osztója egység a gyűrűt.