lineáris algebra
5. fejezet Elementary elmélet lineáris operátorok (folytatás)
5.3. adjoint üzemben
Emlékezzünk, hogy az euklideszi térben, skaláris szorzata vektorok
Definíció. Ha létezik olyan B üzemeltető, és hogy minden az euklideszi térben E igaz. akkor az üzemben a B a csatlakozómodulok A és jelöli A *:
Tétel. Ha az A - line szereplő euklideszi térben E és A - annak mátrix egyes ortonormáiis bázis E, akkor az üzemben csak a konjugátum üzemeltető, a mátrix a csatlakozómodulok szereplő ugyanazon az alapon - a mátrix T.
Ez azt bizonyítja, a tétel egy előadás.
Primer.Rassmotrim üzemeltető fordult helyet U j R j 2 képest szögben, hogy a származási ellentétes irányban:
Ie üzemeltető adjoint üzemeltető fordult teret R2 szögben j tekintetében a származási óramutató járásával ellentétes - R 2 térben keresztül elforgatási szöge az üzemeltető - j képest a származási az óramutató járásával ellentétes.
Matrix szereplők bekapcsolása a szöge és j - j van, illetve a:
Ez könnyen igazolható (egy előadás bizonyult) a következő tulajdonságai adjoint üzemeltetője:- hogy kapcsolt lineáris operatru - lineáris operátor;
- A karakterisztikus polinomja az üzemeltető és
Definíció. Ha a lineáris operátor A. eljáró euklideszi térben E, oly módon, hogy minden az E és igazságos. akkor az üzemeltető önadjungált operátor.
Példa. P2 operátor - a nyúlvány tér altér R 3 R 2 párhuzamosan a vektor :.
Amint azt fent említettük, a mátrix P2 operátor egy természetes ortonormáiis bázis
azaz - működteti a P2 - a önadjungált operátor.
Látható, hogy a mátrix az üzemeltető P2 P2 - szimmetrikus mátrix.
Ez könnyű bizonyítani a következő tulajdonságok egy önadjungált operátor:- az összeg a önadjungált operátorok - adjoint üzemben;
- Ha az üzemeltető A önadjungált operátor, az üzemeltető - szintén önadjungált operátor (- valós szám).
Meg lehet mutatni (az előadás nem bizonyított), hogy az önadjungált operátornak saját ortonormált bázis.
Mivel A = A *, akkor a mátrix csatlakozómodulok üzemeltető - szimmetrikus mátrix. A következő tétel érvényes.
Tétel. A mátrix egy önadjungált szereplő megfelelő alapja van az átlós formában.
Nyilvánvaló, hogy annak érdekében, hogy vezetni egy önadjungált operátor mátrix diagonális formában, hogy megtalálják a sajátértékek és diagonális mátrix, amelyben az átló elhelyezett sajátértékek.
Ha azt szeretnénk, hogy írjon egy kifejezés csökkentésére mátrix átlós űrlapot, mi kell még találni sajátvektorok, írja az átmenet mátrix C-részvény alapján (a mátrix, amelynek oszlopai a koordinátákat a sajátvektorok), megtalálja a fordított mátrix C -1, majd - egyenlőség, amely összeköti a diagonális formája a mátrix a szolgáltató a megfelelő alapot a mátrix egy az üzemeltető az adott alapot.
Így le tudjuk írni az algoritmus csökkenti a lineáris operátor mátrix diagonális formában.
Ez áll a következő:- rekord mátrix üzemeltető az eredeti alapján;
- Írunk a karakterisztikus egyenlet és kiszámítja a gyökerei;
- megtalálni a megfelelő alapja az üzemeltető (ha van ilyen);
- Írunk C mátrix, amelynek oszlopai sajátvektorait koordinátákkal (Vektorok a eigenbasis);
- képletű C -1 AC diagonális formájában lelet szereplő mátrix - mátrix operátor eigenbasis.