lineáris transzformációk

1. Definíció és axiómák egy lineáris tér. Tulajdonságok lineáris terek. Alapján. Az átmenet mátrix különböző bázisok.

Lineáris (vektor) helyet.

Mint ismeretes, a lineáris műveletek (összeadás, kivonás, szorzás számmal) határoztuk meg a saját minden egyes készletnél (száma polinomok irányított szegmensek mátrix). Operations magukat különböző, de tulajdonságaik azonosak.

Ez az egységesítés tulajdonságok lehetővé teszi számunkra, hogy általánossá fogalmát lineáris műveletek minden a készletek, függetlenül attól, hogy mi a set (szám, mátrix, stb.)

Annak érdekében, hogy meghatározzák a lineáris (vektor) tér, úgy egy sor érvényes elemek L, amelyre a műveletek az összeadás és szorzás számmal.

Ezeket a műveleteket a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

3) Van egy nulla vektor. hogy + = a " Î L

4) " Î L van egy vektor = -. úgy, hogy + =

7) A forgalmazási szabályokat (a + b) = a + b

8) egy (+) = a + a

Definíció: A beállított L nevezzük lineáris (vektor) teret, és annak elemei nevezzük vektorok.

Fontos, hogy ne keverjük össze a koncepció vektor fenti a koncepciót, hogy hogyan irányvektor a szegmens a síkban vagy térben. Rendező szegmensek csak egy speciális esete a lineáris elemek (vektor) helyet. Lineáris (vektor) tér - tágabb fogalom. Ilyen terek a valós számok halmaza, a vektorhalmaz egy sík térbeli mátrix, stb

Ha a műveletek száma az összeadás és szorzás vannak definiálva valós elemek, a lineáris (vektor) tér egy valós tér, ha az elemek komplex - egy komplex teret.

Tulajdonságok lineáris terek.

1) Minden egyes lineáris hely van csak egy nulla elemet.

2) csak egy számláló minden egyes sejt tagja.

3) Minden egyes Î L 0 × = true 0

4) Minden egyes olyan Î és R Î L a × = true

5) Ha a × =. akkor a = 0 vagy =

1. Lineáris transzformációk. A lineáris átváltási mátrix.

Definíció: Feltételezzük, hogy a lineáris tér L van állítva egy lineáris transzformáció, ha bármely elemét Î L szerinti néhány szabály van társítva A elem Î L.

Definíció: Átalakítás A nevezik lineáris. ha bármilyen vektorok Î L és Î L, és minden jogot:

Definíció: Egy lineáris transzformáció az úgynevezett identitás. ha ez átalakítja lineáris elem helyet magának.

Példa. Ez egy lineáris transzformáció. = A +; ¹ 0.

Írunk az átalakulás A bármely elemét. = A +

Ellenőrzésére, hogy a szabály hozzáadásával műveletet végzünk ehhez az átalakításhoz A (+) = +; A () + A () = + + +. hogy csak akkor igaz, k = 0; Egy nemlineáris ez az átalakulás.

Definíció: Ha a tér L jelentése vektorok egy lineáris transzformáció. a másik vektor egy lineáris kombinációja vektorok.

Definíció: Ha csak akkor, ha a = b = ... = L = 0, akkor a vektorokat nevezik lineárisan független.

Definíció: Ha a lineáris tér L jelentése N lineárisan független vektor, de bármely n + 1 vektorok lineárisan függ, akkor a tér L nevezzük egy n-dimenziós. egy sor lineárisan független vektor nevezzük alapján lineáris tér L.

Következmény: bármilyen lineáris vektortér leírható lineáris kombinációja alapján vektorok.

Lineáris transzformációs mátrix.

Tegyük fel, hogy az n-dimenziós vektortér a alapján. ..., meg A. Ezután lineáris transzformációs vektorok, A, ..., A - hordozói ezt a helyet és leírhatók lineáris kombinációja alapján vektorok:

Ezután a mátrixot az úgynevezett mátrix A = A lineáris transzformáció.

Ha a tér L, hogy a vektor = x1 + x2 + ... + xn. akkor A Î L.