List ( „asztal”) alapvető integrálok
Felsoroljuk a integrál elemi függvények, melyek néha táblázat:




Bármelyik fenti képletek bizonyítható azáltal, hogy a származék a jobb oldali (eredményeként az integrandus függvény kapunk).
módszerek az integráció
Nézzük meg néhány alapvető módszerek integrációját. Ezek közé tartoznak:
1. bomlási módszert (közvetlen integráció).
Ez a módszer azon alapul, közvetlen használatát táblázatos integrálok, és az alkalmazási tulajdonságok 4. és 5. a határozatlan integrál (azaz elmozdítsa a zárójelben konstans faktorral és / vagy bemutatása az integrandus összegeként funkcióit - bomlás a integrandust szempontjából).
Példa 1. Például, a nahozhdeniya (dx / x 4) közvetlenül használja a táblázatos szerves dlyax n dx. Tény, (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / (- 3) + C = -1 / 3x 3 + C
Tekintsük néhány példát.
2. példa Ugyanezen nahozhdeniyavospolzuemsya integrál:
3. példa Hogy nahozhdeniyanado
4. példa: megtalálni, mi képviseli a integrandust a videi táblázatos integrálját exponenciális függvény:
Fontolja meg az eltávolítása a zárójelben állandó tényező.
Példa 5.Naydem példa. Tekintettel arra, hogy. megkapjuk
6. példa Tegyük. Amióta használjuk a táblázatos integralomPoluchim

A következő két példa is fel lehet használni eltávolítására kapcsok és táblázatba integrálok:
Nézzük bonyolultabb példák, amelyekben a szerves, a felhasznált mennyiség.
9. példa Például, azt látjuk,


Meg kell jegyezni, hogy a végén egy rögzített megoldások általános konstans C (nem pedig az egyes az integrálásával távú). A jövőben is felajánlotta, hogy kihagyja a folyamat állandó megoldások integrálása az egyes kifejezéseket, amíg a kifejezés legalább egy határozatlan integrál (fogjuk levelet tartós megoldás a végén).
10. példa Tegyük. A probléma megoldására a tényező számlálója (akkor képes lesz csökkenteni a nevező).
11. példa Tegyük. Használhatja trigonometrikus azonosságok.

Néha, annak érdekében, hogy lebontják a kifejezést a szempontból meg kell kifinomultabb technikákat.
12. példa Tegyük. Az integrandus kiválasztjuk egész részét a frakció. majd
.
13. példa Tegyük
2. Módszer helyettesítő változó (helyettesítési módszer)
A módszer azon alapul, a következő képlet: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, ahol x = (t) - olyan függvény, amely differenciálható az tekinthető intervallumban.
Bizonyítás. Találunk-származékok változó TGI bal és jobb részei a képlet.
Megjegyezzük, hogy a bal oldalon egy bonyolult függvény, amely egy köztes álláspontot x = (t). Ezért, hogy megkülönböztessék ra, t, differenciálható első integrál x, akkor vozmem származék közbenső érv tekintetében t.
A származék a jobb oldali:
Mivel ezek a származékok, a vizsgálat a Lagrange-tétel bal és jobb oldalán bizonyult képletek különböznek állandó. Mivel határozatlan integrálok maguk meghatározott akár határozatlan konstans tag, a megadott konstans lehet csökkenteni a végső rögzítés. Ez bizonyított.
Sikeres változás változók egyszerűsítése az eredeti integrál, és a legegyszerűbb esetekben, hogy csökkentse azt az asztalra. Ebben a módszer alkalmazása megkülönböztetésére módszerek lineáris és nemlineáris helyettesítés.
a) lineáris helyettesítési módszer szerint a példa.
1. példa.

Meg kell jegyezni, hogy az új, változó, akkor nem lehet írni tisztán. Ilyen esetekben azt mondjuk, a funkciója a szabadon fogható eltérés védjegy vagy a bevezetése egy fix és változó eltérés védjegy - azaz Az implicit változás változó.
2. példa Például, naydemcos (3x + 2) dx. Differenciális tulajdonságok dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), togdacos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) + C.
Mindkét Ezekben a példákban a lineáris permutációs t = kx + b (k0) alkalmaztunk, hogy megtalálják a integrálok.
Általában a következő tétel érvényes.
Tétel mintegy lineáris helyettesítési. Legyen f (x) - a primitív az f (x). Togdaf (kx + b) dx = (1 / K) F (kx + b) + C, ahol k és b - állandók, k0.
A definíció f szerves (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C. Hod (kx + b) = (kx + b) `dx = KDX. Olvasztott állandó mnozhitelkza szerves jele: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C. Most lehet osztani a bal és a jobb oldalon az egyenlet, hogy az állítás naki pontos utalni a konstans.
Ez a tétel kimondja, hogy ha a meghatározás az integrál f (x) dx = F (x) + C, ahelyett, hogy a x argumentumot helyettesítő expresszió (kx + b), ez vezet a további tényező 1 / kpered primitív.
A következő példák megoldásához A fenti tétel.
Found. Zdeskx + b = 3 -x, t.e.k = -1, b = 3. Ezután
Found. Zdeskx + b = 4x + 3, t.e.k = 4, b = 3. Ezután
Found. Zdeskx + b = -2x + 7 t.e.k = -2, b = 7. Ezután

6. példa Tegyük

.
Ezt az eredményt a 8. példa, amelyet felbontottunk bomlás. Ezen probléma megoldására egy másik módszert, azt a választ kapta,


7. példa Találunk

Egyes esetekben, csere a változó nem csökkenti a szerves közvetlenül az asztalra, hanem egyszerűsítheti a megoldást, amely lehetővé teszi, hogy használni egy következő lépésben az eljárás bomlás.
8. példa Például, megtalálják. Zamenimt = x + 2, togdadt = d (x + 2) = DX. majd
,
ahol C = C1 - 6 (ha szubsztituált vmestotvyrazheniya (x + 2) helyett az első két kifejezés ½x kapjunk 2 -2x- 6).
9. példa megkeresése


Mi helyettesíti tvyrazhenie (2x + 1), és felfedi zárójelben adja hasonlók.

Megjegyezzük, hogy a változási folyamat, már át egy másik konstans, mivel Csoport állandó kifejezések az átalakulási folyamat kihagyható.
b) egy nem-lineáris helyettesítési módszer, tekintsük a következő példát.
1. példa.



Tekintsük néhány példát.
2. példa keresésben. Pustt = 1 -x 2. Azután
;
3. példa Tegyük. Pustt =. majd
;
4. példa Abban az esetben, a nem-lineáris helyettesítési is kényelmes a használata egy implicit változást változó.
Például, azt látjuk,

5. példa Tegyük. Itt is bemutatjuk egy változó eltérés védjegy (implicit zamenat 3 + 5x = 3). majd
6. példa Tegyük. mert
.
7. példa Tegyük. Azóta
Vegyünk egy pár példát, ahol szükség van, hogy összekapcsolják a különböző helyettesítés.
8. példa talált. Pustt = 2x + 1, togdax = (T-1) / 2; dx = ½dt.
9. példa talált. Pustt = x- 2 togdax = t + 2; dx = dt.