Metrikus tér, a matematika, a szurkolói powered by Wikia
A hivatalos meghatározása a megfelelő
A metrikus tér egy sor M pontok távolságban funkció (más néven a metrikus) (ahol jelentése a valós számok halmaza). Bármely pont x. y. z M E funkció kell felelniük a következő feltételeknek:
- d (x. y) ≥ 0
- d (x. y) = 0 x = y.
- d (x. y) = d (y. x) (szimmetria)
- d (x. z) ≤ d (x. y) + d (y. z) (háromszög-egyenlőtlenség).
Ezek az axiómák tükrözik az intuitív fogalma távolságot. Például, a távolság kell lennie a nem-negatív és a távolság x-y megegyezik, és a y és x. A háromszög-egyenlőtlenség azt jelenti, hogy menjen a X-Z rövidebb is lehet, vagy legalábbis nem hosszabb, mint az első lépés x-y. majd a y-z.
példák szerkesztése
- A diszkrét metrikus. d (x, y) = 0, ha x = y. és d (x, y) = 1 minden más esetben.
- A valós számok a távolság függvényében d (. X y) = | y - x | Euklideszi térben és teljes metrikus terek.
- A Manhattan vagy város metrikus: koordinátarendszerben, amely távolság meghatározása a távolságok összege közötti koordinátákat. Egy gyakori példa: bármely normált teret lehet alakítani metrikus, meghatározó távolságban függvény d (x y.) = || y - x ||, abban az esetben a véges dimenzióban az úgynevezett Minkowski [1] (nem tévesztendő össze a másik Minkowski tér) .
- Az úgynevezett francia vasúti metrikus egy példa, amely gyakran idézett példa a mutató nem keletkezik norma.
- Bármely csatlakoztatott Riemann gyűjtőcső M, át lehet alakítani egy metrikus térben, meghatározzuk a távolság, mint a infimum hosszának a pályák összekötő egy pár pontot.
- Bármilyen csúcsok halmaza csatlakoztatott G gráf lehet alakítani egy metrikus tér, meghatározzuk a távolság, mint a minimális számú élek az utat csúcsokat összekötő.
- A több kompakt részhalmaza K (M) bármely metrikus tér M, át lehet alakítani egy metrikus térben, meghatározzuk távolságok használatával egy úgynevezett Hausdorff metrikus. Ebben a két mutató alcsoportok közel vannak egymáshoz, ha bármelyik halmaz közelében található az a pont, a többi részét. Itt van egy pontos meghatározás:
- A készlet minden kompakt metrikus tér (akár isometry) lehet alakítani egy metrikus tér, meghatározzuk távolságok használatával egy úgynevezett metrikus Gromov - Hausdorff.
Kapcsolódó meghatározó szerkesztése
- A metrikus tér hívják teljes. ha az alapvető szekvencia konvergál egy elem a tér.
- A metrikus d az M nevezzük belső. ha bármely két pont az x és y M lehet csatlakoztatni a hossza egy görbe tetszőlegesen közel van d (x. y).
- Bármilyen metrikus térben természetes topológia. amelynek alapja az a sor nyílt golyót. azaz szett a következő típusú:
- Két mutatót, amelyek ugyanazokat topológia egyenértékű.
- A topologikus tér, amely ily módon kapott hívják metriziruemym.
- Rasstoyanied (x, S) a tochkixdo podmnozhestvaS M képlet adja meg:
- Néha tekinthető az értékeit mutató [0, ∞]. Az ilyen metrika láthatjuk a végső metrikus d '(x. Y) = d (x. Y) / (1 + d (x. Y)) vagy d' „(x. Y) = min (1, d (x . y))). Ezek metrikus terek topológiája azonos.
tulajdonságok szerkesztése
- Kompakt metrikus tér pontosan akkor, ha bármelyik pontot a sorozat konvergens részsorozata.
- Metrikus tér nem lehet megszámlálható bázis. de mindig kielégíti az első countability axióma - megszámlálható bázis minden ponton.
- Továbbá, minden metrikus tér létezik egy adatbázis, amely minden pontján a tér csak egy megszámlálható halmaz eleme - dot megszámlálható bázis (gyengébb, de az ingatlan még a jelenlétében metrizability paracompactness és Hausdorff).
- Továbbá minden CD-t a metrikus tér egy megszámlálható szomszédságában található.
Variációk és általánosítások szerkesztése
Mert ez a készlet, a funkció az úgynevezett pszeudo-metrikát ha bármely pont x. y. z M teljesíti a következő feltételeket:
Ez azt jelenti, ellentétben a mutatókat különböző ponton lehet elhelyezni nulla távolság. Pseudometric természetesen meghatározza a mutató a hányadosa, ahol.
A metrikus a helyet nevezik ultrametric. ha megfelel az erős háromszög-egyenlőtlenség.
jogtörténet
Moris Freshe első bevezette a metrikus tér művében Sur Quelques rámutat du számbavit fonctionnel. Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1-74, összefüggésben a funkcionális terek.