Műveletek vektorok és tulajdonságaik - studopediya

1. szorzás egy vektor egy szám. 2. Annak érdekében, hogy szaporodnak a vektor számos l kell:

1) A hossza a „növekedés”, a vektor | l | idő (csökkenthetik ha | l | <1).

2) vektor irányát ugyanaz marad (ugyanaz, mint az y vektor), ha L> 0, vagy változás az ellenkező, ha L <0. Данное определение распространяется как на вектора, расположенные на плоскости, так и в пространстве.

Ábrából 2.7 ábrán látható, hogy megszorozzuk a vektor egy szám, koordinátáit szorozni ezt a számot. Valóban, a nagysága a vektor előrejelzések 2 koordinátatengelyeken kétszerese az értékek a vektor előrejelzések. Általában, ha egy vektor koordinátáit. azután a vektort.

2. kiegészítés vektorok. 2 összege két vektor és az úgynevezett harmadik vektort. kilépő közös eredetű, és a kiszolgáló egy átlós a paralelogramma, amelynek oldalai a vektorok (általában paralelogramma) (ábra. 2.8).

Ha a két vektor, majd azokat egy közös eredet hazugság egy egyenesen, akkor összegük, definíció szerint, a vektoros. amelynek hossza egyenlő a hosszúságok összegét a kifejezések vektorok és az iránya egybeesik az irányt ezen vektorok, ha ez utóbbi ugyanolyan irányított; ha a feltételek a vektorok különböző irányba mutató, ezek összege a vektoros. amelynek hossza egyenlő a különbség a hossza a kifejezések vektorok és iránya egybeesik a vektorral irányban, amelynek egy nagyobb hosszúságú. Abban az esetben, azonos hosszúságú, a két, egymással ellentétesen irányuló vektorok ezek összege az a vektor, amelynek hossza egyenlő nullával. Ez a vektor az úgynevezett zéró vektor és a kijelölt.

1 Ha a vektorok és jellemzi a koordinátái, a koordinátákat a összeg megegyezik az összeg a megfelelő koordinátáit vektorok kifejezések :.

Ábra. 2.8 azt mutatja, hogy, és ennek következtében. Ez azt jelenti, egy másik a szabály vektor mellett (háromszög szabály): ha az elején a vektor kombinálva a vektor vége. az összeget a vektorok egy vektor, kezdetét, amely egybeesik az elején a vektor. és a végén - a vektorral végén.

g Működés mellett a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Az első tulajdonság nyilvánvaló. A második tulajdonság fogja bizonyítani, segítségével a háromszög szabály vektor mellett (ábra. 2.9).

4 kompatibilis az elején a vektor a vektor végén. és az elején a vektort a vektor végére. Ezután a vektort. kezdete, amely egybeesik az elején a vektor. és a végén - a végén egy vektor megtalálható kétféleképpen. Egyrészt. és a másik oldalon. 3

3. Vonja vektorok. Ez a művelet egy különleges meghatározás nem szükséges, mivel a különbség lehet tekinteni, mint két egymást követő végrehajtása már ismert műveleteket: szorzás -1 és a vektor hozzáadásával vektorok. Ie.

g Ha összekapcsolják a start vektorok. a vektor tartalmazni fogja a kezdet végén a kivonandó vektor (), és a végén - a végén a redukált-vektort ().

4. Elég használni azt a tényt, hogy a vektor. Ez van hajtva a vektorral. Ez ad egy vektor (ábra. 2.10). 3

Ha a vektorok és a koordinátákat. . koordinátáit különbségük egyenlő különbség megfelelő koordinátákat levontuk vektorok.

4.Skalyarnoe termék vektorok.

2 skaláris szorzata a vektor (kijelölt) (. Ábra 2.11) egy szám egyenlő a termék hosszának a vektorok és a koszinusza a köztük lévő szög:

. (2.3)
Az iskola természetesen tudjuk, hogy a skalár szorzat lehet kiszámítani a koordinátákat és vektorok. nevezetesen:

. (2.4)
Képletek (2.1) - (2.4) következik egy nagyon hasznos képlet megtalálása közötti szögek vektorok, mivel azok koordinátáit:

1 A belső termék a következő tulajdonságokkal:

1. (skalár szorzat kommutatív).

2. (állandó faktor lehet venni, mint a jele, a skalár szorzat).

4. akkor és csak akkor a vektorok egymásra merőleges (nulla vektor tekinthető merőleges bármilyen vektor).

Az összes fenti tulajdonságok származnak a skalár-szorzat definíciójából és közvetlenül teszteltük.

5. A vetítési vektor ra tengelyre. Legyen a vektor 2, és hagyja, hogy a P és Q a nyúlványok a pont az A, illetve B, egy előre meghatározott számú tengely (c). A vetítés a vektor a tengely (ek) az a mennyiség, irányított szegmens.

A meghatározás magában foglalja, hogy Pr (c) = LED. = | | × cosj = | | × cosj,
ahol j - szögben, amelyet a vektor a tengely (C).

Ha a tengely (ek), hogy egy tetszőleges vektor. irányított ugyanabban az irányban, mint a tengely (C), a szög j lehet meghatározni, mint az a szög között a vektorok, és a képlet (2.5). majd

Pr (s) =. (2.6)
Egyenlet (2.6) lehetővé teszi, hogy megtalálja a vetülete a vektor irányát vektor.

6.Vektornoe termék vektorok.

2 a vektor termék a vektor (kikötve) egy vektor. a hossza, amely számszerűen egyenlő a terület a paralelogramma épített a vektorok és. merőleges mind a vektorok és. és úgy irányítjuk, hogy a végén a legrövidebb forgása a vektor a vektorba látható az óramutató járásával ellentétes (vektorok. és a forma egy jobbkezes) (2.12 ábra).

1. megjegyzés ingatlanok száma közvetlenül eredő meghatározását vektor termék:

4. akkor és csak akkor a vektorok és egy egyenesbe esik (hazugság párhuzamos vonalak). Nulla vektor minősül minden vektor esik. Koordináták kollineáris vektorok arányosak.

A vektor termék a leggyakrabban használt, amikor a terület egy paralelogramma, és egy háromszög (ábra 2.13). Kövesse közvetlenül a meghatározása a két képlet:

. (2.7)
. (2.8)
Ennek legegyszerűbb példa, az összes lehetséges vektort terméket az egység vektorok. elrendezve koordinátájú tengelyeket Ox. Oy és Oz. rendre:

(2.9)
Mi származhat képlet megtalálása a vektor termék két tetszőleges vektorok által meghatározott koordinátákkal. Tegyük fel, hogy adott két vektor és. Az ingatlan a vektor termék találunk.

(2.10)
Behelyettesítve a (2.10) (2.9), és hasonló kifejezések, kapjuk:

(2.11)
Vagy egy még kompaktabb

7. A vegyes termék vektorok.

Vegyes termék három vektor. és ez az úgynevezett vektor-skalár termék. A kevert termék egy szám. Kiszámítjuk ezt a számot, ismerve a koordinátáit vektorok. és. Képlet (2,11), hogy. Továbbá, az (2.4), kapjuk:

Hasonló eredményt kapunk, ha kiszámítjuk (nézd meg). Így arra a következtetésre jutunk, hogy
=. Köszönhetően az ingatlan, a vegyes termék általában Jele. Bebizonyítottuk, hogy

(2.13)
Mivel a csomópont két sor meghatározó változások jele,

Így, a végén az átrendeződés a vektor hármas terméket az elején, a vektor termék nem változtatja meg jel. És a csomópont két szomszédos tényezők, a kevert termék előjelet.

Modul g vegyes terméket számszerűen egyenlő a térfogatának egy paralelepipedon, által alkotott vektorok. és.

4Amikor skalár-szorzat definíciójából:

hol. és j - közötti szög vektorok és. ezért

ahol H jelzi a magassága a doboz, amely egyenlő a vetülete a modul az irányt a vektor. síkjára merőlegesen a paralelepipedon bázis ABCD. V - az a térfogat egy paralelepipedon (ábra 2.14). .3

Mivel a hangerőt a háromszög alakú piramis által kialakított vektorok. és. hatszor kevesebb, mint a megfelelő térfogatot a dobozt, majd

(2,15)
Célkitűzés 2.2. ABCD (. Ábra 2.15) adott piramis: A (2; 4; - 1), a B (3, 2, 0), C (1 - 3; 2), D (5; 1, 3). Keresés: 1) a szög BCD; 2) a területet, az arc ABC; 3) A kötet a piramis.