Normált lineáris terek

§ 21. meghatározása és példák normált lineáris terek

Meghatározása R 1. A beállított elemek nevezzük lineáris térben, amikor a következő feltételek teljesülnek:

I. Bármely két elemet egyedileg határozzuk meg A harmadik elem az úgynevezett az összegük, ahol

3) van egy elem 0 úgy, hogy minden

4) Minden egyes van egy elem, amely

II. Tetszőleges számú elem és az elem határozza (a termék a száma x), ahol:

III. összeadás és szorzás műveletek kapcsolódó következőképpen:

Attól függően, hogy milyen az állomány számát (a komplex, vagy csak érvényes) hagyjuk megkülönböztetni komplex és valós lineáris tér. Ahol másképp nem jelezzük, akkor meg fogja vizsgálni a valós lineáris tér.

A lineáris tér, amellett, hogy a műveletek az összeadás és szorzás számmal, még gyakrabban adagoljuk valamilyen módon korlátozzák folyamat működését. Ez a legkényelmesebb, hogy ezt beírja lineáris tér norma.

A lineáris tér K azt mondják, hogy a normalizált, ha minden elemhez egy szabályt, és egy negatív számot:

1) akkor és csak akkor, ha

Könnyen belátható, hogy minden normált tér ugyanakkor egy metrikus tér; elég, hogy egy metrikus tér axiómái Justice közvetlenül következik a tulajdonságait 1-3 norma.

Teljes normált tér típusnak nevezzük Banach tér, vagy a rövid, térben.

Példák normalizálódott terek. 1. Egy egyenes vonal és a szokásos aritmetikai műveleteket a legegyszerűbb példa a normált teret. A norma ebben az esetben egyszerűen az abszolút értéke egy valós szám.

2.n-dimenziós euklideszi térben, azaz a helyet, amely egy rendszer n valós szám, ahol a norma (.. azaz hossza) a vektor úgy definiáljuk, mint a négyzetgyökének belső téren

Van is egy normált lineáris tér.

A n-dimenziós vektortér norma a vektor

Azt is meg lehet határozni a következő képlettel

Feltételezve, hogy a normál vektor egyenlő, megint kapunk normált teret.

3. A tér folytonos függvények a szokásos funkciók a műveletek az összeadás és szorzás számmal, ahol

Ez egy normált lineáris tér.

4. Legyen ismét áll minden folytonos függvények [a. b], és az arány által megadott képlet

Minden az axiómák a norma teljesül.

5. A tér egy normált lineáris tér, ha azt feltételezzük, hogy az összeg két elem

6. A tér áll a szekvenciákkal,

valós számok kielégítő

Összeadás és szorzás jelentése az 5. példában, és az arány egyenlőre van beállítva

7. A határolt teret m szekvenciák ugyanazon definícióval összegek, termékek és szabványok, mint az előző példában.

A axiómái lineáris tér minden ilyen példák könnyen ellenőrizhető. Az a tény, hogy az 1-5 axiómák 1-3 szabályok bizonyított pontosan ugyanúgy, mint az érvényességét az axiómák egy metrikus tér a megfelelő példák, 8. § c. II.

Mindezek a példák helyet, de a tér B-terek.

Meghatározása 2.Lineynym mnogoobraziemL egy normált lineáris tér R bármilyen halmaza elemek az R, az alábbi feltétel kielégítésével: ha hol és - bármilyen szám. A zárt lineáris gyűjtőcső R. R nevezzük altér a tér

Megjegyzés: 1. Az n-dimenziós euklideszi tér R koncepció lineáris sokrétű és ugyanaz altér, hiszen minden egyenes sokrétű automatikusan bezáródik. (Bizonyítsd!) Éppen ellenkezőleg, a végtelen dimenziós térben, nincs zárt lineáris házakat. Például, több pontok formájában L

t. e., például pontokat, amelyeknek csak egy véges (de tetszőleges) száma nem nulla koordinátákat, nem zárt lineáris sokrétű. Valóban, a lineáris kombinációs pontok (1) van egy olyan pont az azonos típusú, vagyis L - .. A lineáris sokrétű. Azonban az L nem zárt, mert például egy sorozat pont

tartozó L, konvergál egy pont

L, amely nem tartozik.

Megjegyzés 2. Let - elemek Banach tér R. és M - R sokaságát képezik elemek bármely véges n.

Nyilvánvaló, M lineáris sokrétű R. Megmutatjuk, hogy a [M] jelentése lineáris altér. Tekintettel lezárás [M] elég annak bizonyítására, hogy ez egy lineáris sokrétű.

Akkor hagyja-szomszédságában x és ott bármilyen -neighborhood - pont rendelkező elemből és becslés