Ortogonális rendszert feladatot lát el -

Ortogonális rendszer funkciói

A rendszer funkciói n (x)>, n = 1, 2, merőleges a tömeg ρ (x), az [a. b], m. e., oly módon, hogy

Példák. Trigonometrikus rendszer 1, cosnx. sin nx; n = 1, 2 - O. c. f. a súly 1 intervallumon [-π, π]. Bessel-függvények - 1/2 O c. f. x a súlya a [0, l].

Ha minden funkciót φ (x) O. c. f. hogy

A szisztematikus tanulmányozása O. c. f. Úgy indult kapcsolatban Fourier megoldási módja határérték problémák matematikai fizika. Ez a módszer vezet, például, hogy megoldások Sturm - Liouville probléma (lásd Sturm -. Liouville probléma) az egyenletben [ρ (x) y ']' + q (x) y = λu. kielégíti a peremfeltételek Y (a) + HY '(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, ahol a H és H - állandó. Ezek a megoldások -. Sc. eigenfunctions a probléma -, hogy O .. f. a tömege ρ (x), az [a. b].

Rendkívül fontos csoportját alkotják O. c. f. - ortogonális polinomok - nyitotta P. L. Chebyshev th tanulmányai az interpolációs eljárás a legkisebb négyzetek, és a probléma a pillanatokat. A 20. században. tanulmányok O. c. f. elvégzett elsősorban alapján az integrál elmélet és a Lebesgue. Ez hozzájárult az elosztási ezek a tanulmányok, önálló ága a matematika. Az egyik fő probléma az elmélet OA. F.- probléma bővítése a f (x) a sorozat formájában

Az együtthatók Cn. nevezett Fourier-együtthatók tekintetében a rendszer n (x)>, a következő szélsőséges tulajdonság: lineáris formában

Azt a legkisebb értéket összehasonlítva a hiba kap ugyanabban az n Egyéb lineáris kifejezések az űrlap

Számos Σ ∞ n = 1Cn φn (x), amelynek együtthatók Cn. képlettel számítjuk ki (*) nevezzük Fourier-sor f (x) normalizáltuk O. c. f. n (x)>. Azoknál az alkalmazásoknál a legfontosabb kérdést meghatározzuk, hogy az egyedi f (x) annak Fourier-együtthatók. O. s. f. amelyekre ez előfordul az úgynevezett teljes, vagy zárt. Feltételei lezárás OA. f. Meg lehet adni több ekvivalens formák. 1) Bármely folytonos függvény f (x) lehet, hogy bármilyen pontossággal az átlagos közelítéssel lineáris kombinációi függvények φk (x), azaz a ∞ n = 1Cn φn (x) konvergál az átlagos, hogy az f (x)]. 2) Bármely f (x), amelynek négyzete integrálható súlyához p (x), a feltétel zárva Ljapunov - Steklov:

3) Van egy nulla függvény integrálható, az [a. b] négyzet ortogonális az összes funkciót, n = 1, 2, φn (x).

Ha figyelembe vesszük a négyzetesen integrálható függvény elemei Hilbert-tér (Lásd. Hilbert tér), akkor a normalizált OA. f. koordinálja rendszerek alap vektorok ezt a helyet, és a terjeszkedés száma normalizált O. s. f. - a bővítés a vektor alap vektorok. Ebben a megközelítésben a szempontok nagy része az elmélet normált O. s. f. világossá vált geometriai jelentés. Például, az (*) azt jelzi, hogy a vetítési vektor a készülékre vektor egyenlő a belső termék vektort és az egység vektort; Ljapunov egyenlet - Steklov is értelmezhető, mint a Pitagorasz tétel végtelen tér: a tér a hossza a vektor a négyzetének összege annak nyúlványok a tengely; O. izolálás. f. azt jelenti, hogy a legkisebb zárt altér, amely az összes vektorok ez a rendszer, az egész teret, stb

Lit.: Tolstov GP Fourier, 2nd ed. M. 1960 Natanson I. P. konstruktív elmélet a funkciók, M. - L. 1949. hogy ugyanazt elmélet a funkciók egy valós változó, 2nd ed. M. 1957 Jackson D. Fourier és ortogonális polinomok, transz. az angol. M. 1948 Kaczmarz S. Steinhaus, elmélet merőleges sorozat, transz. vele. M. 1958.

Nagy Szovjet Enciklopédia. - M. szovjet Enciklopédia. 1969-1978.

Nézze meg, mit „ortogonális rendszer funkciói” más szótárak:

Ortogonális rendszer funkciói - (otgrech orthogonios téglalap.) Véges, vagy megszámlálható rendszer f TIONS. tartozó (elkülöníthető kábelezés) egy Hilbert-tér L2 (a, b) (négyzetesen integrálható TIONS f) és F kielégítő CIÓ g (x) nevezzük. tömeg O. s. f., * az ... ... Fizikai enciklopédia

Ortogonális rendszer funkciók - rendszer funkcióit. n (x). n = 1, 2, meghatározott intervallumon ortogonális transzformációs lineáris transzformációja a vektor helyet, megőrzi változatlan vagy a hossza (amely egyenértékű IT) skalár szorzata vektorok ... Nagy Encyclopedic szótár

ortogonális függvény rendszer - rendszer funkcióit, n = 1, 2, meghatározott a [a, b] és megfelelnek az alábbi ortogonalitásának állapot: ha k ≠ l, ahol ρ (x) egy olyan függvény, az úgynevezett súlya. Például a trigonometrikus rendszer 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... kollégiumi szótár

Ortogonális rendszerben, FUNKCIÓK - f TIONS rendszer, n = 1, 2, meghatározott a [a, b] kielégíti a következő, a ortogonalitási állapot, amikor k nem egyenlő L, ahol p (x) f egy bizonyos paradicsom CIÓ nevezzük. súlyát. Pl. trigonometrikus. 1. rendszer, sin x, gumibot, sin 2, cos 2x. O.s.f. a tömeg ... ... Természetes. kollégiumi szótár

A teljes rendszer funkciók - mint rendszer funkcióit F = meghatározott intervallumon [a, b], hogy nincs f (x), ahol X), a F, azaz, amelyek esetében semmilyen funkciót φ (x) .. F (integrál Lebesgue látni.) integrál ... Nagy szovjet enciklopédia

Rendszer - 4,48 rendszer (rendszer): A kombinációs kölcsönható elemek elrendezve, hogy egy vagy több érhető célok. 1. megjegyzés: A rendszer lehet tekinteni, mint a termék vagy az általa nyújtott szolgáltatásokat. 2. megjegyzés: A gyakorlatban ... ... szótára szempontjából normatív és műszaki dokumentáció

Ortonormált rendszer - 1) A. a. több nem nulla vektorok euklideszi vektorok (Hilbert) térben a belső termék (.) úgy, hogy a (ortogonalitás) és (normalizability). M. I. Voytsehovsky. 2) G. p. ^ Y n n és a tér és a rendszer funkcióit ... ... Encyclopaedia of Mathematics

A rendszer funkciói ortogonalizáló - adott építési rendszer funkciók és négyzet-integrálható [a, b] az ortogonális funkciók a rendszer alkalmazásával bizonyos cerned ortogonalizáló eljárással vagy folyamatos fn (x) függvények .A már ... ... Matematikai Enciklopédia