Pontos differenciálegyenletek

Meghatározása a pontos differenciálegyenlet

A differenciálegyenlet formájában \ [P \ bal (\ right) dx + Q \ left (\ jobbra) dy = 0 \] nevezik teljes differenciálegyenlet. ha van egy funkciója két változó \ (u \ left (\ jobbra) \) folyamatos részleges származékok, amelyek meglehetősen expressziós \ [du \ left (\ right) = P \ left (\ jobbra) dx + Q \ left (\ jobbra .) dy \] az általános megoldás a teljes eltérés határozza meg a képlet \ [u \ left (\ right) = C, \] ahol \ (C \) - tetszőleges konstans.

Szükséges és elégséges feltétele

Legyen a függvény \ (P \ bal (\ right) \) és \ (Q \ left (\ right) \) folyamatosan a származékok néhány régióban \ (D. \) differenciálegyenlet \ (P \ bal (\ right) dx + Q \ left (\ jobbra) dy = 0 \) lesz a teljes differenciálegyenlet, ha és csak akkor, ha az egyenlőség: \ [\ frac >> = \ frac >> \.]

Algoritmus egyenletek megoldására összesen differenciálművek

Először azt látjuk, hogy a differenciálegyenlet pontos eltérés. a szükséges és elégséges feltétele. \ [\ Frac >> = \ frac >>. \]

Akkor mi írjuk a rendszer két differenciálegyenletek, amelyek meghatározzák a függvény \ (u \ left (\ right): \) \ [\ left \<\begin \frac>> = P \ left (\ jobbra) \\ \ frac >> = Q \ left (\ right) \ end \ jobb .. \]

Integrálása az első egyenletben a változó \ (x \.) Ahelyett, hogy egy állandó \ (C \) levelet ismeretlen funkciójú függ \ (y: \) \ [u \ left (\ right) = \ int \ right) dx> + \ varphi \ left (y \ right). \]

Integrálása ez a kifejezés, azt látjuk, a funkció \ (\), ezért a függvény \ (u \ left (\ right): \) \ [u \ left (\ right) = \ int \ right) dx> + \ varphi \ left ( y \ right). \]

Az általános megoldás a teljes eltérés írható: \ [u \ left (\ right) = C \]

Megjegyzés. Lépésben \ (3 \) helyett integrálása az első egyenletben a változó \ (x \), akkor képes integrálni a második egyenlet a változó \ (y. \) Után integrációra van szükség, hogy meghatározzuk az ismeretlen függvény \ (. \)