Technikák kiszámítása összegeket végtelen sorozatok

Az áruház ez egy végtelen számú matematikus. Az első kértem egy kiló cukrot, a második - egy fél kiló, a harmadik - negyed kilogramm.
-Tehát! - szakította félbe az eladó - Fogd a két kilogramm, és elment.

Tehát az első kérdés, hogy figyelembe kell venni -, hogy miért az összeg +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots „> egyenlő kettő.

Lássuk be ezt a tényt kétféleképpen.

Az első módszer, általában nincs szükség, hogy működni végtelen sorozatok, így ki lehet mutatni, még osztályok 6, után azonnal tanulási fok.

Hozzá mindkét oldalán a frakció „> Letöltés .:

Majd összeesik összege két frakció, amelyek mindegyike egyenlő> „>:

Az összeg kivonnak a jobb szélén, mint egy sor dominó. Ez végül ezt a kifejezést:

Magától értetődik, hogy minél nagyobb a N, annál alacsonyabb a S eltérő lesz a két.
Hogy oldja meg a második út ismét levelet a kívánt összeget
+% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots „>

B vonjuk az első egyenletben a második:

Minden szempontból az első kivételével, meg kell semmisíteni, és mi lesz:
= 1 „>

Ezt a módszert alkalmazzák általános formában származtatásához az összeg a mértani.

Tehát, az első mai eredmény.

De a fő kérdés az, hogy hogyan gondolom ez a törvény? Kiderült, hogy ha a nevező a terméket, ez az összeg a frakciók, akinek a nevezők tényezők sérülések előforduló ebben a munkában.

Ebben az esetben,

Keresse meg ezeket az A és B, mennyiségének csökkentésével vissza a közös nevező:
+% 2B + \ frac = \ frac „>

Számlálók kell azonosan egyenlő, tehát,
A + B = 0 és A = 1.

Ezért B = -1. Így jutunk el a kapcsolatban:

Ez a megközelítés is alkalmazható, amikor a nevezők bonyolultabb termék.

Most tekintsünk mi lesz, ha a nevező lesz ereje két, és a számlálót - az egymást követő természetes számok. (Hasonló probléma merül fel egy cikket a mechanikai véletlenszám-generátor.)
Keresse meg az összeget
+% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ frac +% 2B + \ pont „>.

Ezt is kétféleképpen történhet. Az első jelöli a szükséges összeget az S, találja meg a felét és vonjuk a felét az egész:

A második módszer valamivel hosszabb, de épül a gondolat, hogy nem kevésbé szép.
Írunk összeg formájában egy háromszög:

Ahhoz, hogy a kívánt mennyiséget +% 2B + \ frac +% 2B + \ dots = 4 „>

Elég mára. Egy pillantás a héten, hogy az lenne, ha a harmadik összeg a számláló megy Fibonacci-számok Euler bizonyította, hogy az összeget az inverz négyzetes egyenlő egyhatod négyzet pi, és ezért a harmonikus sor divergens.