Terjeszkedés a Maclaurin sor alapvető elemi függvények

Előadás 15. Taylor-sor.

Taylor sorozat nevezzük hatványsor formájában (azt feltételezzük, hogy a funkció végtelenül differenciálható).

Maclaurin sorozat az úgynevezett Taylor sorozat, van egy számot.

Tétel. A teljesítmény sorozat sorfejtéssel annak összegét.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a hatalom sorozat konvergál az intervallumban. Mi helyettesíti az expanzió, megkapjuk.

Mivel a teljesítmény sorozat konvergál egyenletesen belül az intervallum konvergencia tudjuk megkülönböztetni, hogy Terminusonként. Az így kapott sorozat konvergál ugyanabban a tartományban, mivel a sugár konvergencia nem változik a differenciálódás során. Meg lehet különböztetni Terminusonként ismét stb Kiszámoljuk az együtthatók hatványsor kapott Terminusonként differenciálás. =

, , ,

, , ,

Folytatva ezt a folyamatot, megkapjuk. Ez - az együtthatók a Taylor-sor. Ezért a teljesítmény-sorozat egy Taylor.

Következmény. A bővítés a hatványsorba egyedülálló.

Bizonyítás. Az előző tétel a funkció hôtágulása hatványsor egyértelműen meghatározzák, így a bővítés hatványsorba egyedülálló.

Írunk a Maclaurin sorfejtést alapvető elemi függvények számítása együtthatók kiterjesztése a képletben.

,

(Integrálása a fenti képlet)

, .

Hagyja rögzített bővülése a hatványsor. Felmerül a kérdés, hogy ez mindig a bővítés (power series) konvergál ez a funkció, és nem bármely más.

Tétel. Annak érdekében, Taylor-sor konvergál a funkciót, amelyre épül, szükséges és elégséges. a fennmaradó Taylor képletű nullához.

Bizonyítás. Írunk a Taylor formula, ismert 1 félév

Szükségszerűség. Jelöljük Sn - részösszegként a Taylor-sor.

.

Ha a Taylor-sor konvergál, akkor. De Taylor formula. Következésképpen ,.

Megfelelősége. Ha akkor, és - a részleges összege Taylor-sor. Ezért a Taylor-sor konvergál a funkciót.

Tétel. Legyen minden származékok egységesen határolt egyetlen állandó. Ezután a Taylor-sor konvergál a funkciót.

Bizonyítás. Úgy becsüljük, a fennmaradó időre Taylor-formula

, mivel az exponenciális függvény lassabban nő, mint n. Ezért (a előző tétel) Taylor-sor konvergál a funkciót.

Példaként a tétel, úgy véljük, terjeszkedés a Maclaurin sor funkciót sin x, cos x. Ezek soraiban konvergálnak a funkciót, mivel ezek származékai, amelyeket együtt határolja az egység az egész tengelyt.

A bővítés a függvény e x a [a, b] minden származéka korlátozott állandója E b. így a sorozat e x függvény konvergál, tetszőleges véges intervallumban.

Sorozat a funkciók sh x, x ch nyerhető lineáris kombinációja művelői tehát a sorozat konvergál őket az egész vonalon ezeket a funkciókat.

Tekintsük a terjeszkedés a funkciók száma. Tegyük fel, hogy a sorozat konvergál a funkciót. Elképzelhető, számos megkülönböztető Terminusonként érvényességének megállapításához a (távolítsa el, mint egy gyakorlatot). Megoldásában differenciálegyenlet, megkapjuk.