Zhennoe tér

AN Ostylovsky Előadás 12. (duális tér). Lineáris formák és azok alkatrészeit. A duális térben. Kettős alapon. Cseréje alapján a duális térben. Multilineáris formában, annak összetevői. Conversion alkatrész Multilineáris űrlapot megváltozása alapján

12.1. Lineáris formák és alkatrészeik

Úgy véljük, az n-dimenziós lineáris tér L a mező fölé a valós számok R.

Definíció 12.1. F. L. R forma az úgynevezett lineáris, ha

minden x; y 2 L és 2 R:

12.1 példa. A legegyszerűbb lineáris formában L jelentése a nu

bal funkciót. L. R; azaz (X) = 0 minden x 2 L:

Példa 12.2. Fix a a = [1 ,. ; a n] 2 R n. mert

tetszőleges x = [x 1 ,. ; x n] T 2 R n készlet

ahol a = [1 ,. ; a n] a koordináta „portré \ f alapját képezi e. így, egy tetszőleges alakja f egyedileg meghatározott komponensei a kiválasztott alapján. Másrészt, ezek a komponensek lehetnek tetszőlegesen választhatjuk (lásd. 2. példa A 3.1).

Lineáris formák L, azaz a L. elemek úgynevezett covectors.

12.3. kettős alapon

Legyen e alapja a L, és e = fe 1 ;. ; e n g T covectors rendszer meghatározott 4. példa.

Ajánlat. e rendszer alapján L. Ez az úgynevezett konjugált alapján e. A komponensek f alapján e a saját koordinátáit alapján e:

Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy (2) az következik,

F = a 1 e 1 + + n e n = a i e i = ae:

A tetszőleges x = i e i 2 L jelentése

(A j e j) (x) = a j e j (i e i) = a j i e j (e i) = a j i i j = j j = a = f (x):

Így, (3) egyenletet bizonyított. Továbbra is, hogy ellenőrizze a lineáris függetlenség a rendszer e. Ehhez meg kell mutatnunk, hogy a koordinátákat a nulla formában. ebben a rendszerben nullával egyenlő. Így legyen. = A i e i. majd

! 0 = (e j) = (a i e i) (e j) = a i e i (e j) = a i j i = a j:

Következmény. diml = diml:

Megjegyzés 12.1. Basis e = fe 1 ;. ; e n g T helyet L levelet oszlopra. Ebből következik, egy gyakran használt arány

komponensek az úgynevezett T Multilineáris formában a bázis e = fe 1 ;. ; e n g. Könnyen kiszámítható, hogy számuk egyenlő n p + q.

Megjegyezzük, hogy az adott p és q, tudjuk építeni egy Multilineáris formájában típusú (p, q), amelynek összetevői bármilyen

alapján egyenlő n p + q előzetesen meghatározza szám T i 1. i o. Tény, hogy

Ez a forma képlet alapján (12).

Példa. Lineáris operátor A. L. L rendelheti bilineáris formában T A. L L. R:

Legyen [a i j] mátrixa Egy bizonyos vonatkoztatva E. majd

T A (E i; e j) = e i (A (e j)) = e i (k j e k) = a i j;

azaz T A forma elemek egybeesnek a megfelelő elemeivel a kezelő alapján mátrixban e. Ebből következik, hogy a levelezés közötti lineáris operátorok és Multilineáris formái típusú (1; 1) van bijektív.

Exercise. Ellenőrizzük, hogy a vegyes termék három vektor egy Multilineáris formája típusú (0, 3).

12.6. Conversion alkatrész Multilineáris űrlapot megváltozása alapján

Mi viszont a bázis e = fe 1 ;. ; e n g alapján e = Fe 0 0 1 ;. ; 0 e n g. enged

e 0 = es; 0 e j = j i E j;