A duális tér és annak alapján
Let - lineáris vektortér feletti területen. .
Def. Numerikus függvény y = f (U) és az érvek a mezőértékek az úgynevezett lineáris függvénye a teret. ahol :;
Def. A tér lineáris függvények egy vektortér az úgynevezett duális tér és jelentésük.
A funkciók a teret. Úgynevezett covectors és önkifejezés
Def. Covector vektor u és f hívják merőlegesek egymásra, ha
Funkcionális úgynevezett koordináta funkcionálok alapján <>. Számukra (1). (1) egyenlet nevezzük kapcsolatok biorthogonality, és a rendszer a vektorok E =<> és F =<>, kielégítő (1) -biortogonalnymi, amelyek kijelölt E F.
Tétel. Koordinátor működőképes. lineárisan független és forma alapján.
Következmény. Bármilyen alapján a tér E suzestvuet, és csak egy, az alapja a tér F. úgy, hogy E F.
Def. Bázis és F =<>, épült a koordináta funkcionális alapon <>. In. Ez az úgynevezett kettős alapját az E.
Az ortogonális kiegészítője a duális tér
Def. Hagy egy tetszőleges altér vektortér. A több covectors. amelyek ortogonális az összes vektor. Ez az úgynevezett ortogonális kiegészítője a tér és jelöljük. .
Más szóval, az ortogonális kiegészítője - a készlet minden lineáris funkcióját. eltűnnek a vektorokat,
Ezen túlmenően, az ortogonális kiegészítője.
Tétel. Ortogonális kiegészítője egy altér. míg
Bizonyítás. Let - tetszőleges covector a ortogonális kiegészítője. Mutassuk meg, hogy f covector ortogonális az összes vektor ortogonális egyenértékű fvektoram bármilyen alapon.
Tegyük fel, hogy egy alapot időben a bomlás bármilyen vektor. és figyelembe véve a linearitás f igaz
így önkényes covector oldatot (1). Egy adott alapon alapján vektorok formájában (1) egyenértékű a rendszer lineáris algebrai egyenletek: (2).
Mivel LNZ vektorok, a rangot a rendszer mátrix (2) egyenlő k. mint ismeretes a lineáris algebra, hogy a sor megoldást (2) képez vektortér dimenziója n-k. Ez egyenértékű állítást.
Hagy egy lineáris leképezés: →.
Def. Mapping duális kijelzőn, ha van ilyen, és bármilyen összefüggéssel :.
Tétel. Bármely adott lineáris leképezés A konjugátum leképezés létezik, lineáris és egyedi.
Dokvo. Készítünk egy leképezés a feltételt kielégítő a megadott megjelenítési A. beállítása a kijelzőn. meg kell adnunk a megfelelő funkciót az egyes funkciókat. g az a kép alatt látható. De meg kell kérni a funkcionalitás of.-Ez azt jelenti, hogy meghatározza annak hatása egy tetszőleges vektor. Mi határozza meg a szabályt, amely műveletet. Tekintettel a meghatározó kapcsolat a kettős kijelző van :.
Ebből az következik, hogy egy adott kívánt funkcionális hatása a funkcionális tetszőleges vektort a következőképpen határozzuk meg. Az első leképezés: → a vektor. így ő képe - vektor. Ezután kiszámítjuk az érték a megadott funkcionalitás és megszerezni az értéke vektor
így konjugátumot leképezés úgy definiáljuk, mint egy készítmény. mert ezek a feltételek teljesülnek :. akkor azt mondhatjuk, hogy a kijelző lineáris lesz.
Let - két térképet, ami igaz. Ekkor minden. Ebből következik, hogy <( |u>= 0. Mi fix g és meg fog változni u. Ezután az elem (. A lineáris függvény be, hogy csak a nulla értékeket, ezért nulla. Tehát. Ez azt bizonyítja, az egyediség és kiegészíti a igazolást a tétel.
Tétel. Legyen A: → - lineáris térkép E és H - és a bázisok a terek. illetve - Biortogonális bázisok és a tér. Ezután, ha a térképen a bázisok az E és H egy mátrix, a konjugátum megjelenítő Biortogonális bázisok és egy mátrixszal.