A koncepció a folytonosság
Tegyük fel, hogy egy pont tartozik a domain a f (x) és bármely ε-szomszédságában tartalmaz egy pont eltér a referenciapontot mező f (x). azaz pont egy beállított határértéket. amelyen egy f (x).
Definíció. A f (x) az úgynevezett folyamatos a ponton a. ha az f (x) van egy határ, és ez a határérték egyenlő az adott érték f (a) az f (x) pontban a.
Ebből a meghatározásból, mi a következő folytonosság feltétele f (x) pont.
Mivel tudjuk írni
Következésképpen, a folytonos függvény egy szimbólum és egy szimbólum korlátozó átmeneti f függvény jellemzőket lehet cserélni.
Definíció. A f (x) nevezzük folyamatos jobbra (balra) a ponton a. Ha a jobb oldali (balra) ezt a határt a funkció egy ponton, és van egy bizonyos értéket, f (a) az f (x) pont.
Az a tény, hogy az f (x) folytonos derékszöget írható:
A folytonosság egy bal write függvény f (x):
Megjegyzés. A pontok, ahol a függvény nem rendelkezik az ingatlan a folyamatosság, az úgynevezett pontok diszkontinuitás ezt a funkciót.
Tétel. Tegyük fel, hogy egy és ugyanazon meghatározott függvények f (x) és g (x). Folyamatos a ponton a. Ezután az f (x) + g (x). f (x) -g (x). f (x) · g (x) és az f (x) / g (x) - a folyamatos egy (a szükség esetén kiegészítésként szükséges saját g (a) ≠ 0).
Folyamatossága alapvető elemi függvények
1) A teljesítmény függvényt y = x n egy természetes N folyamatos az egész számegyenesen.
Először is, úgy az f (x) = x. Hogy először meghatározzuk a határ funkciót egy bármilyen szekvenciát n>. konvergáló a. míg a megfelelő érték szekvencia funkciók n) = xn> is konvergálnak egy. azaz, ez egy f (x) = x folytonos bármely pontján a számegyenesen.
Most Tekintsük az f (x) = x n. ahol n - egy egész szám, akkor f (x) = x · x · ... · x. Mi jár a határ x → a. Mi kapjuk, azaz az f (x) = x n folyamatos a számegyenesen.
2) Az exponenciális függvény.
Az exponenciális függvény y = a x, ha a> 1, egy folytonos függvény bármely pontján egy végtelen egyenes vonal.
Az exponenciális függvény y = a x, ha a> 1 kielégíti az alábbi feltételeket:
3) A logaritmikus függvény.
A logaritmikus függvény folytonos, és növekszik az egész fele x> 0 a> 1, és csökken, és folytonos az egész fele x> 0 0 4) hiperbolikus függvények.
A meghatározása hiperbolikus függvény, hiperbolikus koszinusza, hiperbolikus szinusz és hiperbolikus tangense van állítva az egész valós tengelye és hiperbolikus kotangensét meghatározott mindenütt a valós tengelyen, kivéve a pont x = 0.
Hiperbolikus függvények folytonosak minden pontján munkájukat (ez következik a folytonosság az exponenciális függvény és egy aritmetikai műveletek tétel).
5) A hatványfüggvény
A teljesítmény függvényt y = x α = egy α loga x folytonos minden pontján a nyitott fele x> 0.
6) A trigonometrikus függvények.
A funkciók sin x és cos x folytonos minden x pontban a végtelen sorban. A függvény az y = tg x folytonos az egyes rések (kπ-π / 2, kπ + π / 2). a függvény az y = CTG x folytonos mindegyik időközönként ((k-1) π, kπ) (itt mindenhol k - bármilyen egész szám, azaz k = 0, ± 1, ± 2, ...).
7) inverz trigonometrikus függvények.
Funkció y = arcsin x és y = arccos x folytonosak intervallumon [-1, 1]. Funkció y = arctg x és y = arcctg x folytonos egy végtelen sorban.
Két figyelemreméltó limit
Tétel. A korlátozó funkció (sin x) / x x = 0, és van egy, azaz
Ez a határ az úgynevezett első figyelemreméltó limit.
Bizonyítás. ha 0 Ezek az egyenlőtlenségek is érvényesek x értékei. feltételeit kielégítő -π / 2 Tétel. Limit funkciót, ha x → ∞ létezik, és egyenlő a számát e. Ez a határ az úgynevezett második figyelemreméltó limit. Megjegyzés. Az is igaz, hogy Tétel. Legyen a függvény x = φ (t) folytonos a ponton a. az y = f (x) folytonos a b = φ (a). Ezután az összetett függvény az y = f [φ (t)] = F (t) folytonos a ponton a. Legyen x = φ (t) és y = f (x) - egyszerű elemi függvények, az értékrendje x = φ (t) a domain meghatározása az y = f (x). Mint tudjuk, az elemi függvények folytonosak minden pontján a domain meghatározása. egy bonyolult függvénye y = f (φ (t)) Ezért, az előző tétel. ez egy szuperpozíció két elemi függvények, folyamatos. Például, a függvény folytonos bármely ponton x ≠ 0, mint komplex funkciója két elemi függvények x = t -1 és y = sin x. Továbbá, a függvény az y = ln sin x folytonos bármely ponton időközönként (2kπ, (2k + 1) π). k ∈ Z (sin x> 0).Folytonossága összetett funkciók