A numerikus időközönként időközönként, és milyen időközönként sugarak úgynevezett numerikus intervallumok
Tekintsük a számot vonalon (lásd a 6. ábrát)
Tekintsük a racionális számok
Minden racionális szám képviseli egy pont a valós tengelyen. Így az ábrán jelölt számokat.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy van egy töredéke. . Jogunk van azt feltételezni, hogy ez a rész nem csökkenthető. Ettől. majd - a szám páros - páratlan. Eltéréssel, hogy az expresszió találunk. ami azt jelenti, hogy - páros. Kaptunk egy ellentmondás, ami azt bizonyítja az állítást.
Tehát nem minden ponton a valós tengely képviseli racionális számok. Ezek a feltételek, amelyek nem jelentenek racionális számok számát jelenti az úgynevezett irracionális.
Bármilyen fajok száma. . Ez vagy egy egész szám vagy irracionális.
Numerikus időközönként időközönként időközönként félék nevezzük numerikus időközönként.
Egyenlőtlenségek, amelyek az adott numerikus intervallum
Számszerű megjelölése, időszak
Kültéri numerikus gerenda mínusz végtelen egy
Képviselni a koordináta tengely és számos b. és a szám x közöttük.
A számok halmaza feltételnek megfelelő egy ≤ x ≤ b. Ez az úgynevezett numerikus szegmens iliprosto szegmens. Jelöljük: [a; b] -OLVASD a következőképpen: szegmense a b.
A számok halmaza, amelyek megfelelnek a feltétel Ez kimondja: az intervallum-ból b. Sokasága számok megfelelnek a feltételek egy ≤ x
Állítsa a ≤ x
sok Most képzeljünk el egy fénysugár a pont. jobbra és balra, amely - egy pár számot. A számok halmaza a jogot a pont. feltételnek megfelelő x ≥ a. Ez az úgynevezett numerikus ray. Jelöljük: [a; + ∞) -OLVASD e: numerikus ray egy a pozitív végtelen. A számok halmaza a jogot a pont. megfelel a egyenlőtlenség x> a. Ez az úgynevezett nyílt numerikus ray. Jelöljük: (a; + ∞) -OLVASD így kültéri numerikus gerenda egy plusz végtelenig. A számok halmaza balra pont. feltételnek megfelelő x ≤ a. Ez az úgynevezett numerikus gerenda mínusz végtelen doa. Jelöljük: (- ∞; a] -OLVASD az alábbiak szerint: a numerikus gerenda mínusz végtelen egy. A számok halmaza balra pont. megfelel a egyenlőtlenség X Jelöljük: (- ∞, a) -OLVASD így kültéri numerikus gerenda mínusz végtelen egy. A készlet minden valós számok képviselik a koordináta tengely. Ezt nevezik a számegyenes. Kijelölt, mint: (- ∞; + ∞) 3) Lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek egy változót, azok megoldására: Egyenlőség, amely tartalmaz egy variábilis nevezett egyenlet egy változó vagy egy egyenletet egy ismeretlen. Például, egy egyenletet egy változó a egyenletet 3 (2x + 7) = 4-1. A gyökér vagy egyenlet megoldása a változó értékét, amelyre a egyenlet igaz lesz numerikus egyenlőséget. Például az 1-es szám egy olyan oldat 2 + 5 = 8x-1. Az egyenlet x2 + 1 = 0 nincs megoldás, hiszen A bal oldali az egyenlet mindig nagyobb, mint nulla. Egyenlet (x + 3) (4-x) = 0 két gyökerei: x1 = 3, x2 = 4. Oldjuk meg az egyenletet - ez azt jelenti, hogy megtalálja az összes gyökereit vagy annak bizonyítására, hogy a gyökerek nem. Az egyenleteket nevezzük ekvipotenciális ha minden gyökerei az első egyenlet a gyökerei a második egyenletbe, és fordítva, a gyökerei a második egyenlet a gyökerei az első egyenlet, vagy ha mindkét egyenletben nincs gyökere. Például, az x = 8 és 2 x 20 + 10 = egyenértékű, mert gyökere az első egyenletben x = 10 a gyökere, és a második egyenletet, mindkét egyenletben van egy gyökere. A következő tulajdonságokat használják az egyenletek megoldására: Ha az egyenlet mozgatni a kifejezés egyik részéből a másikba, a változó jel, akkor kap az egyenletet, amelyek egyenértékűek az e. Ha mindkét része az egyenletnek szorzata vagy hányadosa ugyanaz nem nulla szám, akkor kap egy egyenletet egyenértékűek ezen. Az egyenlet ax = b, ahol x - változó, a és b - számok, az úgynevezett lineáris egyenlet egy változót. Ha a¹0, akkor az egyenlet van egy egyedi megoldás. Ha a = 0, b = 0, akkor egyenlet megfelel bármely x értéknél. Ha a = 0, b¹0, majd az egyenletnek nincs megoldás, hiszen a 0x = b nem elégedett bármilyen változó értékét. Nyissuk zárójelben mindkét oldalán az egyenlet, át minden szempontból az x bal oldalon az egyenlet, és a feltételek nem tartalmaznak x, a jobb oldalon, kapjuk: 2. példa: oldja egyenletet: Ezek az egyenletek nem lineáris, hanem megmutatni, hogyan lehet megoldani az ilyen egyenletek. 3h2-5h = 0; x (3-5) = 0. Artwork nulla, ha az egyik tényező nulla, azt kapjuk, x1 = 0; x2 =. Faktor a bal oldalon az egyenlet: x2 (x2) -9 (x2) = (X2) (h2-9) = (x2) (3-x) (x-3), azaz (X-2), (X-3) (x + 3) = 0. Ez azt mutatja, hogy a megoldásokat az egyenlet x1 = 2, x2 = 3, és X3 = -3. c) képviseli 7x, mint 3x + 4, akkor van: x 2 + 3 + 4 + 12 = 0, x (x + 3) +4 (x + 3) = 0, (x + 3) (x + 4) = 0, így x1 = 3, x2 = - 4. Válasz: -3; - 4. Emlékezzünk a meghatározása a modul: Például: ½3½ = 3, ½0½ = 0, ½- 4½ = 4. Ebben az egyenletben a modulus jele a számok x 1 és x + 1. Ha x kisebb, mint -1, az x szám + 1 negatív, akkor fél óra hosszat + 1 ½ = -x-1. Ha x> -1, majd fél óra hosszat + 1 ½ = x + 1. Az x = -1 fél óra hosszat + 1 ½ = 0. a) Tekintsük ezt uravnenie½h + 1 ½ + fél óra hosszat-1 ½ = 3, ha X £ -1, ez felel meg az egyenlet -x-x-1 + 1 = 3, -2x = 3, x =. ez a szám tartozik az X halmaz £ -1. b) Legyen -1 <х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве. c) Vegyük azt az esetet x> 1. + X + 1 x 1 = 3, 2 = 3, x =. Tartozik a beállított x> 1. Válasz: x1 = -1,5; x2 = 1,5. Megmutatjuk rövid formája egyenlet megoldása, és felfedi a jel „a rések” a modul. x £ -2, - (x + 2) -3H = -2 (x-1) - 4 = 4, X = -2Î(- ¥; -2] -2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0] 0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1] X> 1, x + 2 + 3 = 2 (x-1) = 2 - 4, X = -2Ï(1; + ¥) A: [-2; 0] Ebben az egyenletben tulajdonképpen két változó, mondjuk x, de ismeretlen, és jól paramétert. Szükséges, hogy az egyenlet megoldásához képest x, minden paraméter értékét a. Ha a = 1, akkor az egyenletnek formájában 0 × X = 0, ez az egyenlet teljesül tetszőleges számú. Ha a = 1, akkor az egyenletnek formájában 0 × X = 2, ez az egyenlet nem felel meg egyetlen egy szám. Ha a¹1, a¹1, akkor az egyenlet van egy egyedi megoldás. Válasz: Ha a = 1, akkor X - bármilyen szám; ha a = 1, akkor nincs megoldás; B) Lineáris egyenlőtlenségek egy változót. Ha az x változó, hogy bármilyen számszerű értékét, megkapjuk numerikus egyenlőtlenség, amelyek vagy igaz vagy hamis állítás. Tegyük fel például, mivel a egyenlőtlenség 5x-1> 3 + 2. Amikor x = 2 megkapjuk 5 · 2.1> 3 · 2 + 2 - igaz állítás (helyes numerikus megnyilatkozás); ha x = 0 azt kapjuk, 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - egy hamis állítás. Bármely változó értékét, amelynél ez az egyenlőtlenség változó igaz lesz numerikus egyenlőtlenség nevezzük megoldás az egyenlőtlenség. Oldjuk meg az egyenlőtlenség változó - azt jelenti, hogy megtalálják a készlet minden döntéseit. Két egyenlőtlenségek egy X változó azt mondják, hogy egyenértékű, ha a sor megoldást ezen egyenlőtlenségek egybeesnek. Az alapötlet az oldatot egyenlőtlenség a következő: helyettesítjük ez az egyenlőtlenség egy másik, egyszerűbb, de egyenértékű a jelen; A kapott egyenlőtlenség ismét helyébe az egyszerűbb egyenlőtlenség egyenértékű vele, stb Ilyen helyettesítéseket alapján készült az alábbi állítások. 1. Tétel Ha bármely tagja az egyenlőtlenség egy változó áthelyezni egyik oldalon a másik az ellenkező előjelű, ugyanakkor változatlanul hagyhatják a jele az egyenlőtlenség, megkapjuk az egyenlőtlenség ekvivalens ezt. 2. Tétel Ha mindkét oldalán a egy változó szorzata vagy osztva azonos pozitív szám, ugyanakkor változatlanul hagyhatják a jele egyenlőtlenség, megkapjuk egyenlőtlenség egyenértékű e. 3. tétel Ha mindkét oldalán a egyenlőtlenség egy változó szorzata vagy hányadosa azonos negatív szám, a változó jele egyenlőtlenség megfordul, megkapjuk az egyenlőtlenség ekvivalens ezt. Lineáris egyenlőtlenség nevezett típusú ax + b> 0 (rendre, ax + b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше. Példa 1. Oldjuk egyenlőtlenségek 2 (x-3) +5 (1-x) ³3 (2h-5). Eltávolítása zárójelben, megkapjuk 2x + 6 5-5h³6h-15 2. példa megoldásához egyenlőtlenséget. Mentes a nevezők, amelyek szaporodnak mindkét oldalán pozitív szám 6, változatlanul hagyva egyenlőtlenség jele. . következetesebben megszerzése; . Az utolsó egyenlőtlenség igaz minden x értékét, mivel minden változó értéke x kapunk igaz állítás 0> -55. Ezért sok a döntések az egész számegyenesen. 3. példa megoldásához az egyenlőtlenséget: fél óra hosszat-1½<3. Ennek meghatározása alapján modul egyenlőtlenség felírható kombinációja két rendszer egyenlőtlenségek megoldása ez a készlet kapjuk (2) úgy, hogy egy oldatot ez az egyenlőtlenség az intervallum (-2, 4). 4. példa megoldásához az egyenlőtlenséget: fél óra hosszat + 1 ½> 2. Itt az X> 0,5 az első rendszer, és a második rendszer - nem megoldások. 4) A másodfokú egyenletek (teljes és nem teljes), a döntésükről: A számok az úgynevezett együtthatói másodfokú egyenlet. A fenti másodfokú egyenlet - egyenlet formájában. egy első együttható, amely egyenlő egy (). Ha a másodfokú egyenlet és az együtthatók nem nulla, akkor az egyenlet az úgynevezett teljes másodfokú egyenlet. Például, Eq. Ha az egyik együtthatók vagy nulla együtthatót, vagy mindkettő egyenlő nullával, egy másodfokú egyenlet nevezzük hiányos. Például Eddig ismeretlen. amelyben a másodfokú egyenlet igaz lesz numerikus egyenlőség hívják a gyökere ennek az egyenletnek. Például az érték egy gyökere egy másodfokú egyenlet. vagy azért, mert - ez a helyes numerikus ravenstvo.Reshit másodfokú egyenlet - ez sokat jelent, hogy megtalálja a gyökereit.
Példa 1. egyenlet megoldásához: -8 (11-2h) + 40 = 3 (4-5x)
3. példa megoldani az egyenletet: 1 + fél óra hosszatç+ Fél óra hosszat-1ç= 3.
4. példa megoldani az egyenletet: fél óra hosszat + 2½ + = 3½h½ 2 és fél óra-1 ½.
5. példa megoldani az egyenletet: (a-1) (a + 1) = x (a-1) (a + 2) minden értékére paraméter egy.
Válasz: (0,5; + ¥)