Hogyan lehet megoldani a lineáris egyenlet Diophantine

Diophantine egyenlet - algebrai egyenlet kiszabott további feltétel, amely abból áll, hogy minden döntésnek kell lennie egy egész szám. Általában a diophantoszi egyenlet nehéz megoldani, és számos módszer létezik, hogy megoldja őket. Fermat-sejtés egy híres példája a Diophantine egyenlet megoldatlan marad több, mint 350 éves.

Azonban, lineáris Diophantine egyenlet formájában ax + by = c megoldható viszonylag egyszerűen elvégezheti a leírt algoritmus ebben a cikkben. Az alábbi módszerek segítségével, azt találjuk, hogy a (4.7) szerves pozitív egyenlet megoldása 31x + 8Y = 180. A művelet osztás moduláris aritmetika is leírható mint egy Diophantine egyenletet. Például 12/7 (18 egység) előírja, hogy a megoldása az egyenletnek 7x = 12 (18 egység), amely átírható 7x = 12 + 18y vagy 7x - 18y = 12. Bár néhány Diophantine egyenletek túl bonyolult, olvassa el ezt a cikket, hogy megtudja hogyan lehet megoldani a legegyszerűbb őket.

lépések szerkesztése

Rögzítse az egyenlet a következő formában: ax + by = c.

Alkalmazza a és b együtthatók Euklidész algoritmus. Ez történt a két gólt. Először is meg kell meghatározni, hogy az a és b együtthatók közös osztó. Például, ha előttünk az egyenlet 4x + 10y = 3, akkor azonnal észre, hogy a bal oldalán mindig páros, és a jobb oldalon - a páratlan, akkor van megoldás formájában egész számok ez az egyenlet nem létezik. Hasonlóképpen megoldása az egyenletnek 4x + 10y = 2, akkor ez egyszerűsíti a 2x + 5é = 1. Másrészt, figyelemmel a létezését megoldások tudjuk építeni az egyiket a szekvencia osztók előállítható az euklideszi algoritmus.

Ha egy. b és c egy közös osztó, egyszerűsíti az egyenletet elosztjuk bal és jobb oldalról ezt a számot. Ha a és b közös osztó, amely nem osztható c. majd megáll. Ebben az esetben, az egyenletnek nincs egész megoldásokat.

Rajzolj egy asztal három sor az ábra szerint.

Töltse ki a felső sorban a táblázat elválasztó talált az algoritmus Euclid. Az ábra azt mutatja, hogyan nézne ki a következő egyenlet 87x - 64y = 3.

Töltsük az alsó két sorban balról jobbra a következő: minden egyes cella találja a terméket az azonos oszlopban a felső cella és a szomszédos cellával balra e. Regisztráció sejt az összege a termék és az értékek két sejt található a bal oldalon.

Nézd meg az utolsó két oszlop tölteni, mielőtt a táblázat vége. Az utolsó oszlop tartalmazza értékeket a és b együtthatók (mint voltak a 3. lépésben). Ha nem, akkor ellenőrizze a számításokat. Az utolsó előtti oszlopban is tartalmaz a két érték. A mi példánkban egy = 87 és b = 64, hogy tartalmaz-e több 34 és 25.

Megjegyezzük, hogy 87 * 25-64 * 34 = -1. A determinánsa 2x2 mátrix a jobb alsó sarkában az asztal mindig egyenlő 1 vagy -1. Ha ez negatív, szorozzuk mindkét oldalról -1, és van egy -87 + 25 * 64 * 34 = 1. Ez lesz a kiindulási pont, ahonnan megkonstruálunk egy megoldást.

Vissza az eredeti egyenletet. Átírása egyenlet az előző lépésben, mint egy 87 * (- 25) + 64 * (34) = 1, vagy 87 * (- 25) - 64 * (- 34) = 1, úgy, hogy a megjelenése volt közelebb áll az eredeti egyenletet. Például, a mi esetünkben, a második előnyös kiviteli alak, mivel ez alkalmas a -64y tag, amikor az eredeti egyenlet y = -34.

Csak most itt az ideje, hogy nézd meg az állandó együttható c a jobb oldalon az egyenlet. Amint azt korábban a mi megoldást találtak a egyenlete ax + by = 1, megszorozzuk mindkét oldalán az egyenlet által c. Kapunk egy (cx) + b (CY) = c. Így, ha (-25, -34) a megoldást egyenlet 87x - 64y = 1, akkor (-75, -102) egy olyan oldat, 87x -64y = 3.

Ha egy Diophantine egyenletnek van legalább egy oldat, akkor az következik, hogy azt egy végtelen számú megoldást. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a ax + by = a (x + b) + b (y -a) = a (x + 2b) + b (y-2a), és általában, ax + by = a (x + kb) + b (y -ka) bármely egész k. Így mivel (-75, -102) egy olyan oldat, 87x -64y = 3, vannak más megoldások, mint például a (-11, -15), (53,72), (117,159), stb Egy általános megoldás felírható (53 + 64k. 72 + 87K), ahol k jelentése bármilyen egész szám.