Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek paraméterű

A sorozat a „tanulás problémák megoldására a paraméter”

IV. Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek paraméterű

IV.1. alapfogalmak

Definíció. funkciója a forma (1), ahol - az adatok paraméter függvényében a. tekintik a kereszteződésekben a saját domain fogják hívni a másodfokú függvény a paraméterrel.

Különösen egyes együtthatók és a szabad kifejezés lehet szám.

Definíció. Az alábbiakban a meghatározása másodfokú függvényt (1) a paramétert egy Belátható egész sor pár az x és az űrlap (X, A), amelyek mindegyike megtartja jelentését expresszióját.

Létrehozza domén funkciók 1-10.

1. 2. 3. 4. 5..
6. 7. 8. 9. 10..

Ha a paraméter egyikét veszi számértékei, a függvény (1) formájában történik egyik funkciója a numerikus együtthatók:

ahol k. b. c - a valós számokat.

Felhívjuk a figyelmet arra a tényre, hogy egyes értékek a paraméter egy másodfokú függvény paraméter formájában egy másodfokú függvény paraméter nélküli, vagy - lineáris.

Mivel a másodfokú függvény paraméter gyakran „generál” a család a másodfokú vagy lineáris függvények numerikus együtthatók, beszélt az másodfokú függvény diagramokat paraméterrel. értünk olyan grafikonokat a család.

Definíció. Másodfokú egyenlet egy paraméterrel, és az úgynevezett egyenlet formájában (1), ahol, - az adatok paraméter függvényében a. tekintik a kereszteződésekben a saját domain.

Különösen egyes együtthatók és a szabad kifejezés lehet szám.

A definíció egy másodfokú függvény egy paraméterrel, akkor ad egy meghatározást egy másodfokú egyenlet egy paraméter.

Definíció. Másodfokú egyenlet egy paraméterrel hívják az egyenlet formájában, ahol - a másodfokú függvény a paraméterrel.

Ha az egyenlet (1) van tér a hagyományos értelemben vett, azaz második fokozatot.
Ha azonban, a (1) egyenlet lineárissá válik.

Az összes lehetséges értékeit a paraméter a. és amelyben, az ismert képletek megkapjuk expresszióját gyökerei egyenlet (1) paraméteren keresztül.

Ezeket az értékeket és. amelynek értelmében úgy kell tekinteni, mint külön-külön speciális esetekben.
Például, (5) egyenlet válik, ahol.

IV.2. Másodfokú egyenlet egy paraméter

A koordináta-rendszer (AOX) kitöltésével a megoldás. (Ábra. 1)

Válasz: 1. Ha, akkor.

№2. Keresse meg a paraméter értékét a. ahol az egyenlet van egy egyedi gyökér. Ha ezek az értékek némiképp válaszul, hogy jegyezzék fel az összeget.

Ez az egyenlet redukálódik egyenértékű rendszer:

Adjunk meg a forma és megoldani grafikusan egy koordináta-rendszerben (HOA). (Ábra. 2).

Az egyenlet egyetlen gyökér, és.

Újrafogalmazni a problémát: „Minden az x értékei, úgy, hogy minden érték az egyenletnek nincs gyökereit.”
Fejezzük szempontjából x:

1) Legyen. Aztán. Ezért az egyenletnek gyökereit. Tehát, ez nem felel meg a feltételt.
2) Legyen. Aztán. Tegyük egy koordinátarendszert (HOA). (Ábra. 3).

№4. Hány gyökerek, attól függően, hogy a paraméter egy olyan az egyenlet?

Egy koordináta-rendszerben (xy) össze egy grafikont

és számos egyenes sugár párhuzamos vonalak által meghatározott Eq. (Ábra. 4).

Válasz: 1. Ha nincs gyökere.

2. Ha van egy gyökere.

3. Ha a két gyökér.

IV.3. Szögletes egyenlőtlenség egy paraméter

Figyelembe vesszük, hogy a. Ezután - a döntés a egyenlőtlenség minden b. (Ábra. 5).

Ha, akkor megy a egyenlőtlenség, a megoldás halmaz ábrázolt koordináta-rendszerben (doboz). (Ábra. 6.).

Kompatibilis ábra. 5 és 6.

És most, ábra szerinti. 7, vágás függőleges vonalak, akkor könnyen kap választ.

Válasz: 1. Ha, akkor.
2. Ha, akkor.
3. Ha, akkor

Nézzük megoldani a egyenlőtlenség grafikus módszerrel egy koordináta-rendszerben (Hob):

Két esetet.

1). Ezután a egyenlőtlenség válik, hol.
2) majd.

Graph funkciók és része a sík tartalmazó pontok, amelynek koordinátái megfeleljenek egy egyenlőtlenség a 8. ábrán látható.

1. Ha majd.
2. Ha, akkor. 3. Ha majd.

Most Privodem grafikus megoldás egy koordináta-rendszerben (xy). Hogy felfedje a modulban:

, - gyökerei egy kvadratikus trinomiális.

Kapunk lakosság. (Ábra. 9)

2) ha. (Ábra. 10).

3) ha. (Ábra. 11).

Válasz: 1. Ha, akkor.

2. Ha, akkor.
3. Ha majd.

№6. Találd meg az összes értékeit. amelyre a minimális érték a függvény nagyobb, mint 2.

Ez elég ahhoz, hogy megtalálja az összes értékeit. mindegyikre bármilyen egyenlőtlenség. Átírni a egyenlőtlenséget.

Problémák grafikailag egy koordináta-rendszerben (xy).

Ehhez figyelembe vesszük a funkció (1), (2).

Egyenlőtlenség tart az is, ha a függvény grafikonját lesz a grafikon fölött funkciót.

Tekintsük két esetben: 1) az egyenes vonal az érintő a függvény grafikonját; 2) az egyenes vonal az érintő a grafikon.

1 ,,,, - az egyenlet az érintő. Honnét. Aztán.

2. A grafikon az áthalad a ponton (1; 1): ahol.

Minden feltételnek a probléma.

Válasz :.
№7. Oldja meg a készlet egyenlőtlenségek

Létrehozza az első domén aggregált:

Mi meg fogja oldani a készlet grafikusan egy koordináta-rendszerben (HOA). (Ábra. 13).

Átírni összessége

Bemutatjuk a funkciót. (0, 0), (6, 0) - a metszéspont a koordináta-tengely; (3; 9) - csúcsa a parabola.

Találunk gyökerei a másodfokú trinomiális :; .

Ábra. 13, megoldások sokaságát együttesen kiosztott színe (sötét vagy világos).

1. Ha nincs megoldás.
2. Ha, akkor.
3. Ha majd.
4. Ha, akkor.
5. Ha, akkor.
6. Ha, akkor.
7. Ha, akkor.