Példák a használata konvolúció képletű

30. példa Legyen független valószínűségi változók, és a standard normális eloszlás. Azt állítják, hogy az összegük egy normális eloszlású paraméterek és.

A képlet szerint a konvolúció. összeg megegyezik a sűrűség

Az utolsó integrál egyenlő eggyel, mivel az integrandus a sűrűsége a normális eloszlású paraméterek és.

Tehát azt találtuk, hogy az összeget a sűrűség a sűrűsége a normális eloszlás paraméterei: 0 és 2.

Ha az összeg két független véletlen változók azonos eloszlású (esetleg más paraméterekkel) ugyanolyan eloszlású, azt mondja, hogy ez az elosztás stabil képest az összegzésben.

A következő állítások bizonyítására, hogy felajánlotta, hogy az olvasó, sorolja szinte minden stabil eloszlás.

Lemma 3 Hagyja a véletlen változók és független. Aztán.

4. Lemma Legyen a valószínűségi változók és független. Aztán.

Lemma 5. Legyen a valószínűségi változók és független. Aztán.

Lemma 6. Legyen a valószínűségi változók és független. Aztán.

Mindezen állítások fogjuk bizonyítani később, a berendezés a karakterisztikus függvények, de némi türelemmel akkor próbálja bizonyítani, hogy közvetlenül, a 30. példa szerint.

Exponenciális eloszlás nem stabil az összegzés, de ez egy speciális esete a gamma eloszlás. amely már stabil képest az összegzési.

Lemma 7. Legyen a valószínűségi változók függetlenek exponenciális eloszlás. Aztán.

Bizonyítás. Belátjuk az állítás indukcióval. Ha ez igaz alapján az egyenlőség. Tegyük fel, hogy a lemma érvényes. Megmutatjuk, hogy ez igaz. Az indukciós feltevés van eloszlása, vagyis sűrűség eloszlását nagyságrendű

Ezután a konvolúció összege megegyezik a sűrűség

Mivel a, azaz a amikor a sűrűség az integrál értéke nullától eltérő, ha a változó integrációs változik. Ha az integrandus, és ezzel együtt, és a sűrűség nulla. Ha van:

Ezért, ahogy szükséges.

31. példa egyenletes eloszlása ​​nem stabil képest az összegzési. Azt találjuk, a funkció és a eloszlási sűrűsége összege két független valószínűségi változók azonos egységes a [0, 1], de nem az a képlet konvolúció, és használata a geometriai valószínűsége.

enged # 151; független valószínűségi változók. Egy pár lehet tekinteni, mint a koordináta pontot dobott véletlenszerűen az egységben téren. Ezután a terület az a szögletes közvetlen irányítása alatt. Ez a terület # 151; árnyékolt háromszög, és egy ötszög. Végül kapjuk:

az összeget az eloszlás sűrűsége

ezt # 151; sűrűsége az úgynevezett „háromszög” elosztás Simpson. Látjuk, hogy egyenletes eloszlása ​​nem stabil képest az összegzésben.