Szükséges és elégséges feltételek meglétét az inverz operátor

Előadás 5. vissza az operátor és egy inverz mátrixot

5.1. Definíció. A kapcsolat fennállásának a bal és jobb inverz operátorok véges dimenziós térben.

5.2. Szükséges és elégséges feltételei fennállásának az inverz operátor.

5.3. A fordított mátrixba.

5.4. A tétel az inverz üzemben termék a piaci szereplők, az üzemeltető működik egy számot. Tétel reverzibilitásának az üzemeltető figyelembe alapján az alapja.

5.5. A transzformációs mátrix a kezelő az átmenet során egy új alapon.

5.6. Transzformációs vektor koordinátái a változás alapján.

5.1. Definíció. A kapcsolat fennállásának a bal és jobb inverz
operátorok véges térben.

Let - lineáris tér és - lineáris operátor benne.

Definíció. A lineáris operátor nevezzük balra fordított. ha megfelel.

A lineáris operátor nevezzük jobb inverze az üzemeltető. if.

Definíció. Ha van egy olyan üzemben, amely egyszerre balra és jobbra fordított. ez az úgynevezett inverz operátor és jelöljük. Ez a meghatározás az inverz operátor .:

Az üzemeltető úgynevezett reverzibilis (nem-degenerált).

Tétel. Szinte egyértelmű állítás: ha az üzemeltető mind a bal fordított és egy jobboldali inverze. akkor.

Vannak példák, amikor egyoldalú inverz létezik, és a második nem. Sőt, úgy a végtelen dimenziós lineáris tér minden polinomok - és differenciálódását üzemeltető integrálása:

Ez a végtelen dimenziós térben, de ez a helyzet a véges?

Belátjuk a tétel: Ha - dimenziós lineáris tér és - lineáris operátor maradt rajta inverze. ez is egy jobb inverz, azaz, ez egyszerűen az inverz operátor ..:

Tekintettel. - dimenziós, létezik egy alapot vektorok. . .... Hogy a kereset az üzemeltető alapján vektorok, az eredmény nem jelezték. (). (5.1)

Megmutatjuk, hogy a vektorok is alapját képezik.

Helyettesítő lineáris kombinációja vektor egyenlet (5.1), és cselekedni az üzemeltető:

Mivel a vektorok () - az alap. Ezért is, az alapvető vektorok. Mi jár rájuk az üzemeltető:

Az eredmény jár az üzemeltető:

Ha a lineáris operátor nem változik alapján vektorok, akkor nem változik a vektor lineáris kombinációja alapján vektorok:

Szükséges és elégséges feltételei fennállásának az inverz operátor.

Let - lineáris tér és - lineáris operátor benne.

Belátjuk az állítás: ha a lineáris operátor mellyel bármilyen nulla vektort egy nulla (nulla vektor nulla). fordított (no) nem léteznek számára.

Tegyen meg minden operátor. szaporodnak a bal oldalon az üzemeltető által kapott és eljár bármilyen vektor:

Itt már használható a nyilvánvaló állítás: bármely lineáris operátor át a nulla vektor nulla :.

Másrészt ,. Ie Ez nem létezik.

Ha bizonyítani azt az állítást, cseréljük ki a nulla vektor az at-legalább egy ilyen, ha bizonyítást nyer, hogy nincsenek egy bal inverz számára.

Példa: úgy az n-dimenziós aritmetikai térben és eljárva azt az operátor. feledékeny 1. koordináta 0 és ostolnye nem én. Vegyünk egy nem nulla vektor. Ha. akkor nincs visszatérés.

Következésképpen a szükséges feltétele a létezését a fordított üzemben is követelmény. de ez nem elegendő.

Példa: tegyük fel. Vedd az üzemeltető az integráció. . Ezután egy szükséges feltétel a következő formában:

Itt a szükséges feltétel teljesült, és az inverz operátor, a korábban bemutatott, általában nem.

Tétel. A véges dimenziós térben elengedhetetlen feltétele a létezését az inverz operátor is elegendő.

- dimenziós lineáris tér. . ..., - az alapját képezi. Alkalmazzuk az üzemeltető alapján vektorok, megkapjuk a vektorok (5.1). Megmutatjuk, hogy ők is alapot.

mivel a vektorok () - az alap. Ezért is, az alapvető vektorok.

Amint azt az előző fejezetben, van egy egyedülálló lineáris operátor. amely lefordítja alap vektorok. .

Hogy a kereset az üzemeltető alapján vektorok:

Ha az alap vektorok az üzemeltető működik, mint egy egységet, akkor bármely vektor van:

És mivel - véges dimenziós térben.

Let - dimenziós lineáris tér és cselekedni is invertálható:

Vegyünk alapul. . .... Ebben alapján, az üzemeltetők és megfelel néhány, a mátrixban. Jelöljük őket. Természetesen az úgynevezett mátrix, a fordított mátrixba.

Mivel a lineáris tér négyzetes mátrixok érdekében izomorf a tér körül lineáris operátorok más megfelelő dimenziós térben, illetve (5.2), kapjuk:

Ha van egy mátrix. a mátrix az úgynevezett reverzibilis (nem degenerált). Ha figyelembe meghatározója a mátrix (5,3) megkapjuk a numerikus egyenlőség:

Következésképpen, ha a mátrix invertálható, akkor a determináns értéke nem nulla. Ha felidézzük az explicit kifejezése az inverz mátrix determinánsa az eredeti mátrix és a cofactors elemében, azt lehet mondani, hogy ez egy szükséges feltétele a reverzibilis mátrix is ​​elegendő.

5.4. Tétel az inverz üzemben működik operátorok
üzemeltető számát. Tétel reverzibilitásának az üzemeltető figyelembe alapján az alapja.

Tétel. Ha - két reverzibilis operátor, akkor a termék - is invertálható, és

Ha - átfordítható üzemeltető és a telefonszámot. az üzemeltető is reverzibilis, és

Vegyük a munka a piaci szereplők. szorozza meg a bal oldalon. majd balra

Ha az üzemeltető a szorzás az üzemeltető újra megszerezni a személyazonosságát operátor. ami azt bizonyítja állításunkat.

Tétel. Ha az üzemeltető alapot az alap, ez egy invertálható operátor.

Bizonyítás. Adott: egy dimenziós lineáris tér és két bázisok (), ahol;

Átalakítás a bal és jobb oldalán az utolsó kapcsolat (5.4) a bal oldalon, hanem a helyettesítő kifejezést keresztül, és vegye ki kívül az üzemeltető:

Ahhoz, hogy a megfelelő nulla együtthatók képezik a lineáris kombinációja a null vektorok. . Az arány (5.4) formáját ölti:

. azaz és figyelembe véve a véges dimenziós operátor visszafordítható.