Három jelei hasonló háromszögek

1. Tétel Két háromszög hasonló, ha két háromszög szögei egyenlők két szöge egy másik.

Tegyük fel, hogy a háromszögek ABC és A'B'C ∠A = ∠A „∠V = ∠B” (ezekben háromszögek csúcsai rendre egyenlő szögek gyakran jelöljük az azonos betűk).

Bizonyítsuk be, hogy \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C (ábra. 367).

Először is, vegye figyelembe, hogy az egyenlő a két szög a háromszög adatok, hogy a harmadik és a szögek egyenlőek, így. E. ∠C = ∠S”.

Elhalasztani a vertex V, például, az AB oldalon ABC háromszög BM szegmens egyenlő a szegmens A'B”. A pont M meghúzni a határt MN || AU. Kaptunk egy \ (\ Delta \) MBN, ami hasonló a \ (\ Delta \) ABC. De \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C 'mint ∠V = ∠V' by hipotézis; másikra MB = A'B „építkezés által; ∠BMN = ∠A '(∠BMN és ∠A' jelentése külön-külön azonos ∠A).

Ha a \ (\ Delta \) MBN \ (\ sim \) \ (\ Delta \) AVS, a \ (\ Delta \) A'B'C „\ (\ sim \) \ (\ Delta \) ABC. Ez a tétel fejezi 1. jel hasonlóság háromszögek.

Vizsgálatot. 1. egyenlő oldalú háromszög hasonló.

2. egyenlő szárú háromszög hasonló, ha azok azonos szög a tetején vagy alján.

3. Két derékszögű háromszög hasonló, ha ő az Egyenlő hegyesszög.

4. egyenlő szárú derékszögű háromszög hasonló.

2. tétel két háromszög hasonló, ha két oldala háromszög arányos két oldalán egy háromszög, és a szögeket, hogy feküdjön közöttük egyenlő.

Hagyja, hogy a háromszög ABC A'B'C '\ (\ frac = \ frac \) és ∠V = ∠V'

Be kell bizonyítanunk, hogy a \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C „(ábra. 368).

Annak bizonyítására, halasztani, például az AB oldalon ABC háromszög a csúcs BM szegmensben egyenlő a szegmens A'B”. Keresztül az M pont meghúzni a határt MN || AU. A kapott MBN háromszög hasonló az ABC háromszög.

Azt bizonyítja, hogy \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C”. Ezekben háromszögek ∠V = ∠V 'által hipotézis MB = A'B' by építése. Egyenlőség biztosítása a felek és BN B'C, össze aránya AB / MB = BC / BN (következik a párhuzamos AC és MN), és hasonlítsa össze az aránya, amelyek adják a tétel: \ (\ frac = \ frac \) . Az arányok a két három egyenrangú tagjai, ezért ezek negyedik és azok tagjai,

t. e. B'C „= BN. Ez azt jelenti, hogy a háromszögek és MBN A'B'C”.

Mivel a \ (\ Delta \) MBN \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C 'akkor ebből következően \ (\ Delta \) A'B'C' \ (\ sim \ ) \ (\ Delta \) ABC.

Ez a tétel fejezi ki a 2. jele hasonlósága háromszögek.

Következmény. Jobb háromszög hasonló, ha a lábát egyikük arányos a lábát egy másik.

3. tétel két háromszög hasonló, ha a három oldalán egy háromszög arányos a három oldalról egy másik háromszög.

Legyen az ABC háromszög és A'B'C „\ (\ frac = \ frac = \ frac \) (ábra. 369).

Be kell bizonyítanunk, hogy a \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C '

Annak bizonyítására, elhalasztja oldalán háromszög AB ABC a B csúcs szegmens BM = „B”. A pont M meghúzni a határt MN || AU. A kapott MBN háromszög hasonló az ABC háromszög. Ezért, \ (\ frac = \ frac = \ frac \).

Azt bizonyítja, hogy \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C”. Annak bizonyítására, összehasonlítani két arány

\ (\ Frac = \ frac \) és \ (\ frac = \ frac \).
Ezekben arányok három egyenrangú tagjai, ezért ezek negyedik és azok tagjai, azaz a BN = B'C.

Vessük össze a két nagyobb arányban: \ (\ frac = \ frac \) és \ (\ frac = \ frac \). Ezek az arányok is három egyenlő tagja, ezért egyenlő tagjai a negyedik és, így tovább. E. MN = A'C”.

Kiderült, hogy a három párt \ (\ Delta \) BMN három oldalról \ (\ Delta \) A'B'C”, nevezetesen:

MB = A'B 'BN = B'C és MN = A'C'.

Következésképpen \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C 'és \ (\ Delta \) ABC \ (\ sim \) \ (\ Delta \) A'B'C'.

Ez a tétel fejezi ki harmadik jele a hasonlóság háromszögek.