Matematikai Diákolimpia Diákolimpia és feladatok

1. feladat: Can egy 5 × 5 négyzet téglalapokra vágva 1 × 2 (dominó).

2. feladat: A sakktábla 8 × 8 faragott szemközti sarkában sejtek. Lehet vágni a maradék be téglalapok 1 × 2 (dominó)?

Megoldás: Nincs. Minden dominó kiterjed egy fekete és egy fehér vérsejtek, valamint a tábla nélküli szögei fekete-fehér sejtek egy másik számot.

3. feladat: A szemközti sarokban a tábla 10 × 10 kivágott két négyzet 3 × 3 Lehetséges, hogy vágják a többi dominó?

4. feladat: Gyere fel a koherens darab egy sakktábla, ahol a szintén fekete-fehér sejtek, de nem lehet bontani dominó.

5. feladat: Lehetséges, hogy csökkentsék egy négyzet 10 × 10, 25 db?

6. feladat: Lehetséges, hogy csökkentsék egy négyzet 10 × 10, 25 db?

Megoldás: A festék a fedélzeten sakktáblaszerűen. Fekete sejtek lesz páros szám, és az egyes szám akkor lesz egy vagy három.

Cél 7: Lehetséges, hogy csökkentsék egy négyzet 10 × 10, 25 db?

A festék a fedélzeten négy színben (lásd. Ábra). Mindegyik figura foglal egy cellában az egyes színek és a sejt az első és második szín másik számot.

Cél 8: Lehetséges, hogy csökkentsék a négyzet a 10 × 10, 25 db?

Megoldás: Festék vertikalicherez egyet.

9 Célkitűzés: Annak bizonyítására, hogy a tábla 8 × 8 anélkül szögletes sejt nem tud vágni téglalap 3 × 1.

Cél 10: Lehet egy tábla 8 × 8-vágott egy négyzet a 2 × 2 és 15 féle számok?

Cél 11: tér a) 5 × 5b) 8 × 8 osztva több téglalap 3 × 1 és 1 × egy négyzet alakú lehet 1. Amennyiben négyzet 1 × 1?

Megoldás: a) A központban, b) A harmadik cella egy átlós bármilyen szögből.

Megjegyzés: festeni a tábla három színben kapható.

12. feladat Mi a maximális számú rúd 1 × 1 × 4 vágható aljáról 6 × 6 × 6?

Cél 13: A téglalap van osztva figurák. Az egyik elveszett, de helyette a. Bizonyítsuk be, hogy egy sor új burkolatot nem lehet a forrás téglalapot.

Cél 14: Can a négyzet 16 × 16 osztva 64 4 × 1 téglalap, amelynek 31 fog állni függőlegesen, és a fennmaradó 33 - vízszintesen?

Megoldás: Festék minden negyedik függőleges.

Feladat 15: Milyen négyzet n × n osztható a);

Megoldás: Ha n, négy többszörösének.

Cél 16: téglalap m × k osztva téglalapok 1 × n. Igazoljuk, hogy m osztható n vagy k osztható n.

Festék n színnel.

Cél 17: Annak bizonyítására, hogy m × n téglalapot oszthatók téglalapok a × b, akkor és csak akkor, ha a következő feltételek teljesülnek:

1) m és n jelentése a képviseletében a Ka + lb (K és L - nem negatív egész szám)

2) m és n van osztva egy.

3) m vagy n értéke osztva b.

Cél 18: téglalap m × n robusztus, ha meg lehet osztani dominó úgy, hogy minden téglalap részén metszi legalább egy dominó. Bizonyítsuk be, hogy:

a) téglalap 2 × n - remegő

b) téglalap alakú 3 × n - remegő

c) téglalap 4 × n - remegő

d) a téglalapok 5 és 6 × 6 × 8 - szilárd

e) ha a téglalap m × n - tartós, és a téglalap m × (n + 2) - tartós.

f) * téglalap 6 × 6 - remegő

g) Mik a dobozokat erős és melyek nem?

Megoldás: f) Tipp: minden sor 6 × 6 négyzetméter metszi páros számú dominó.

g) Minden a téglalapok m × n, ahol Mn a még, m, n ≥ 5, azzal az eltéréssel, 6 × 6.

Terület, az úgynevezett szám típusát.

a) Lehet a téglalap 5 × 9, osztva sarkok?

b) Annak bizonyítására, hogy a téglalap oldalai 100 és nagy területű osztható 3-osztható területeken.

c) Milyen négyszöget osztható sarkok, és mi - nem?

Tudok felszállni 2 n × 2 n nélkül sarokban sejtek osztva sarkok?

Megoldás: Igen, lehet. Partíció van kialakítva indukcióval.

Feladat 21: Milyen deszka n (2n + 1) × (2n + 1) anélkül, hogy a sarokban sejteket lehet osztani dominó, beleértve a horizontális és vertikális egyaránt?

Megoldás: Ha a páros n.