Megtalálása primitív gyökerek modulo

Ebben a részben figyelembe vesszük az n. ahol n -1 = * - kanonikus faktorizáció törzstényezős.

Legyen On (a) = n -1. Ezután (1) kielégíti a meghatározása a elemek sorrendje a csoportban. Ezen kívül ,. 1 ≤

Tegyük fel most, hogy (1) és (2). Azt mutatják, hogy a (a) = n -1.

Az eredmények a tétel csak bizonyult lehet használni, hogy megtalálja generátor Up, ami csak ellenőrzi a második pont, mint az első egy egyszerű modul automatikusan elvégzi szerint Fermat-tétel. Ezen kívül lehet levezetni egy szabályt. ha a1. a2 nem a generátorok a csoport Up elemek. A1A2 szintén nem generál elem Up. Ezért arra a következtetésre jutottunk, hogy a legkisebb generátor csoport Up - elsődleges.

Ahhoz, hogy egy közegáram-előállító elem volt, szükséges és elégséges a feltételeket: a október 1 (mod n), a január 14 (mod n), egy 35 1 (mod n).

Megtapasztaljuk számos U71. Ehelyett a b mod 71, a rövidség kedvéért írunk b.

2: 2 10 = 30, 14 = 2 54 2 35 = 1. 2 nem generál elem.

3: 3 10 = 48 14 = 3 54, 3 35 = 1. 3 nem generál elem.

5: 5 10 1 = 5 nem generál elem.

7: 7 10 = 45 14 = 7 54, 7 35 = 70. 7 - generáló elem.

Tehát U71 legkisebb generáló elem csoportot (vagy primitív gyök mod 71) 7.

A létezés és a szám a primitív gyökerek.

Primitív gyökerek nem léteznek minden modulhoz. Valóban, amint a 2. példa mutatja az 1. igénypont szerinti, nincs primitív gyökerek modulo 8.

Primitív gyökerek modulo m, m = 2, 4, p # 945; vagy 2p # 945;. ahol p - páratlan szám.

A nagyszámú primitív gyökerek modulo m. ha léteznek, van # 966, (# 966; (m)).

Határozza meg a nagyszámú primitív gyökerek modulo 10.

10 = 2 * 5 = 2p. Primitív gyökerek léteznek. Keressük meg a számot.

Március 2 = 9, 3 3 = 7, április 3 = 1. O10 (3) = 4 = # 966; (10). 3 - primitív gyökér.

Július 9 2 = 7 3 = 3, április 7 = 1. O10 (7) = 4 = # 966; (10). 7 - primitív gyökér.

Sőt, volt két primitív gyökerek modulo 10.

Legyen c = # 966; (m), q1. q2. .... qk - különböző elsődleges osztója a. Ezután g. (G, m) = 1 - primitív gyök modulo m nem teljesül sem a összehasonlítások. i = 1,2, ..., k.

A tétel bizonyítása az előző bekezdésben egy speciális esete ennek a tételnek egy egyszerű n.

Ha G - egy primitív gyök m (Um generáló elem), akkor, ha # 947; végigfut a teljes rendszer a maradék modulo # 966; (m), akkor g # 947; fut keresztül a redukált rendszer a maradékok modulo m.

A számok a. (A, m) = 1 bemutatjuk a fogalom az index, vagy a diszkrét logaritmus.

Ha a≡g # 947; (Mod m), a # 947; Ez az úgynevezett index. vagy több diszkrét logaritmus bázis g modulo m.

Számelmélet azt használta a „index”, és írja # 947; = indg a. de a kombináció a „diszkrét logaritmus” használják a kriptográfia és írni # 947; = LOGG a. Ami ezt az előnyt nem csak megfelelnek az említése az úgynevezett diszkrét logaritmus probléma, akkor használja a legújabb verzióját a nevét, és az írás. Különösen azért, mert a diszkrét logaritmus van néhány tulajdonsága a folyamatos logaritmusok:

Az ingatlan 1: A diszkrét logaritmus raznoznachen a teljes rendszer a maradékok modulo # 966; (m).

A bizonyítás ezen tulajdonságok nem bonyolult, és közvetlen következménye a meghatározások a diszkrét logaritmus és a primitív gyökér.