Sajátvektorok és sajátértékei egy négyzetes mátrix - studopediya
Számos tudományos és technikai problémák, valamint néhány területén Computational Mathematics tanulmányok szükségessé megtalálni a sajátvektor és sajátérték mátrixok.
A vektor x = (x1, x2, ... xn) Î E n mondják sajátvektor mátrix A = (aij) nn, ha a szám l suschestvuettakoe Î R, amely a következő egyenlettel:
A szám l nevezzük sajátérték a mátrix A.
Mivel a szorzás a sajátvektorok egy skalár ez egy sajátvektora ugyanaz mátrix, hogy átszámítható. Különösen egyes koordinátája sajátvektor osztható legfeljebb őket, vagy a vektor hosszát. Az utóbbi esetben kapcsolja ki a készüléket sajátvektor.
A jellemző mátrix az A mátrix egy mátrix formájában:
ahol E - az identitás mátrix.
Könnyen belátható, hogy (1) felírható:
Ha elmész egy koordináta vektor formában felvétel x. az
Systems (3) és (4) a homogén lineáris egyenletrendszer n c n ismeretlennel. Ez egy triviális megoldás, ha determinánsa nulla.
A meghatározója a C mátrix egy polinom foka n tekintetében erőt # 955;
Ez az úgynevezett karakterisztikus polinom. A gyökerek a polinom sajátértékei a mátrix A.
Ahhoz, hogy megtalálja a sajátvektorok megoldásához szükséges a rendszer lineáris algebrai egyenletek, amelynek megoldása nem egyedi. Tudjuk lineáris algebra, hogy ebben az esetben az általános megoldás a következő szerkezetű: egy vagy több ismeretlen úgynevezett szabad, bármilyen értékű lehet, ahogy azt az általános ismeretlen elérhetőségét. A számú szabad ismeretlenek számával megegyező egyenletek eredő fennmaradó egyenletek, azaz,
ahol m - számú szabad ismeretlenek; N - dimenzionalitásának a rendszer.
A gyakorlatban, ha az egyik ismeretlen szabad (ami gyakran előfordul), azt feltételezzük, hogy bizonyos számú, például 1. Ezt követően, a többi pedig ismeretlen (vektor komponensek), amelyek egyértelműen meghatározni. Ez az eljárás nem befolyásolja az eredményt a probléma megoldásának, mint már említettük, hogy a sajátvektorok pontossága állandó tényező.
Példa. Számoljuk ki a sajátértékek és sajátvektorok A.
Határozat. Mi alkotják a karakterisztikus polinom:
Találunk a gyökerei a polinom:
Ahhoz, hogy megtalálja a sajátértékek és. megfelelő sajátértékek L1 és L2. Létrehoztunk egy egyenletrendszer mindegyikre:
vagy többkomponensű formában:
Megjegyezzük, hogy az egyenletek lineárisan függ. Ezért hagyja csak az egyiket. Az első egyenletből következik, hogy x2 = - x1. Ismeretlen x1 mentesnek tekinthető. Azt feltételezzük, x1 = 1, akkor X2 = - 1, és a sajátvektor megfelelő sajátérték l1 = 2, jelentése = (1, -1) vagy = L1 - L2. ahol l1. l2 - az egység vektorok a kiválasztott gazda rendszert.
Ugyanígy találunk a második sajátvektor megfelelő saját znacheniyul2 = 5
vektor normalizált, és normalizálja a vektor. elosztjuk alkotórészeit legtöbbjük. kapjuk:
Azt is okozhat a vektorokat az egységnyi hosszúságú, elválasztó elemek a értékei vektorok modulok:
Megvizsgáltuk a legegyszerűbb példa számítási sajátértékei vektorok mátrix 2-rendű. Azt is könnyű, hogy egy ilyen döntés mátrix harmadik rend és néhány nagyon különleges alkalmakkor.
Az általános esetben, különösen a magas rendű mátrix, a feladat, hogy megtalálja saját sajátvektor és sajátérték, az úgynevezett teljes sajátérték probléma lényegesen bonyolultabb.
Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a probléma csökkenti, hogy a számítás a gyökerek a polinom (6). Ez a feladat azonban bonyolítja az a tény, hogy többek között a sajátértékek gyakori többszörösei. És különben is, minden mátrix koefficiensek nem könnyű kiszámítani a karakterisztikus polinom.